Cho $x,y$ là số thực dương thỏa mãn $\ln x+\ln y=\ln (x^2+y)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=x+y$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 889, trang 7), Câu 49 chọn đáp án C.

Ta có $\ln x+\ln y=\ln (xy)=\ln (x^2+y)⟺xy=x^2+y⟺y(x-1)=x^2$.
Vì $x,y>0$ nên $x-1>0⟺x>1$. Khi đó $y=\frac{x^2}{x-1}$.
Biểu thức $P=x+y=x+\frac{x^2}{x-1}=x+x+1+\frac{1}{x-1}=2(x-1)+\frac{1}{x-1}+3$.
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương $2(x-1)$ và $\frac{1}{x-1}$:
$P\ge 2\sqrt{2(x-1)\cdot \frac{1}{x-1}}+3=2\sqrt{2}+3$.
Dấu đẳng thức xảy ra khi $2(x-1)=\frac{1}{x-1}⟺x-1=\frac{1}{\sqrt{2}}⟺x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}$ (thỏa mãn $x>1$).
Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $2\sqrt{2}+3$.

Chọn đáp án C.