Cho mặt cầu $(S)$ bán kính $R=5\text{ cm}$. Mặt phẳng $(P)$ cắt mặt cầu $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn $(C)$ có chu vi bằng $8\pi \text{ cm}$. Bốn điểm $A,B,C,D$ thay đổi sao cho $A,B,C$ thuộc đường tròn $(C)$, điểm $D$ thuộc $(S)$ (không thuộc đường tròn $(C)$) và tam giác $ABC$ là tam giác đều. Tính thể tích lớn nhất của khối tứ diện $ABCD$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 889, trang 7), Câu 39 chọn đáp án A.

Bán kính đường tròn $(C)$ là $r=\frac{8\pi }{2\pi }=4\text{ cm}$.
Khoảng cách từ tâm mặt cầu $O$ đến mặt phẳng $(P)$ là $d=\sqrt{R^2-r^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\text{ cm}$.
Tam giác $ABC$ đều nội tiếp đường tròn bán kính $r=4\text{ cm}$ nên cạnh tam giác là $a=r\sqrt{3}=4\sqrt{3}\text{ cm}$.
Diện tích tam giác $ABC$: $S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{(4\sqrt{3}{)}^2\sqrt{3}}{4}=12\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$.
Khoảng cách lớn nhất từ điểm $D\in (S)$ đến $(P)$ là $h_{\max }=R+d=5+3=8\text{ cm}$.
Thể tích lớn nhất của khối tứ diện $ABCD$ là:
$V_{\max }=\frac{1}{3}{S}_{ABC}\cdot h_{\max }=\frac{1}{3}\cdot 12\sqrt{3}\cdot 8=32\sqrt{3}{\text{ cm}}^3$.

Chọn đáp án A.