Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1:\{\begin{array}{l}x=-20\\ y=2\\ z=t\end{array},d_2:\{\begin{array}{l}x=m^2\\ y=m+2\\ z=1-t\end{array}(t\in \mathbb{R})$ và điểm $K(8;-1;0)$. Biết rằng tồn tại đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $K$ vuông góc với $2$ đường $d_1,d_2$, đồng thời thỏa mãn $d(d_1;\Delta )=d(d_2;\Delta )=d(Oz;\Delta )$. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị thực của $m$ thỏa mãn

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho 2 điểm $A(1;2;3),B(-2;1;1)$ và đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{-1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z}{2}$. Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $A$ cắt $\Delta$ sao cho khoảng cách từ $B$ đến $d$ là lớn nhất. Phương trình tham số là

Câu 1. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=2$, $BC=3$ và $C{C}^{\prime }=6$. Gọi $I$ là trung điểm của $A{A}^{\prime }$ và $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $B^{\prime }{D}^{\prime }$ và $IG$ bằng bao nhiêu (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ có vectơ chỉ phương lần lượt là ${\vec{u}}_1$, ${\vec{u}}_2$. Gọi $\phi$ là góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$. Khẳng định nào sau đây là **đúng**?

Trong không gian $Oxyz$, vị trí tương đối của $d_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1}$ và $d_2:\frac{x-3}{4}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+2}{2}$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1:\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2-t\\ z=2t\end{array}$, $(t\in \mathbb{R})$ và $d_2:\frac{x+2}{1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z+1}{-1}$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

Một kỹ sư thiết kế một đường ống thẳng dẫn dầu từ trạm $A(1;-2;0)$ đến nối với một đường ống dầu khác có phương trình $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{2}$ tại điểm $B$ (ảnh minh họa). Để tiết kiệm chi phí người kỹ sư phải thiết kế đường ống dẫn từ $A$ đến điểm nối $B$ có độ dài ngắn nhất. Phương trình đường ống dẫn dầu có dạng $AB:\frac{x-1}{a}=\frac{y+2}{b}=\frac{z}{7}$. Tính giá trị $a+b$?