Câu 1. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=2$, $BC=3$ và $C{C}^{\prime }=6$. Gọi $I$ là trung điểm của $A{A}^{\prime }$ và $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $B^{\prime }{D}^{\prime }$ và $IG$ bằng bao nhiêu (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ có vectơ chỉ phương lần lượt là ${\vec{u}}_1$, ${\vec{u}}_2$. Gọi $\phi$ là góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$. Khẳng định nào sau đây là **đúng**?

Trong không gian $Oxyz$, vị trí tương đối của $d_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1}$ và $d_2:\frac{x-3}{4}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+2}{2}$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1:\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2-t\\ z=2t\end{array}$, $(t\in \mathbb{R})$ và $d_2:\frac{x+2}{1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z+1}{-1}$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

Một kỹ sư thiết kế một đường ống thẳng dẫn dầu từ trạm $A(1;-2;0)$ đến nối với một đường ống dầu khác có phương trình $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{2}$ tại điểm $B$ (ảnh minh họa). Để tiết kiệm chi phí người kỹ sư phải thiết kế đường ống dẫn từ $A$ đến điểm nối $B$ có độ dài ngắn nhất. Phương trình đường ống dẫn dầu có dạng $AB:\frac{x-1}{a}=\frac{y+2}{b}=\frac{z}{7}$. Tính giá trị $a+b$?

Câu 2. Để bắc các cột kèo thuận tiện, người ta thiết lập một hệ trục $Oxyz$ hợp lý, đơn vị trên mỗi trục là một mét. Trong hệ toạ độ đó, từ điểm $M(3;-4;-5)$ người ta nhận thấy có thể bắc được thanh xà thẳng nối các cột nằm trên các đường thẳng $d_1:\frac{x+4}{-5}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-2}{3}$ và $d_2:\frac{x-1}{-1}=\frac{y-2}{3}=\frac{z+5}{-2}$. Khi đó đoạn thanh xà nối hai cột có độ dài bằng bao nhiêu mét? *(Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)*.

Trong không gian $Oxyz$ cho hai đường thẳng $d_1:\{\begin{array}{l}x=8+t\\ y=5+2t\\ z=8-t\end{array}$ và $d_2:\frac{x-3}{-7}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3}$. Vị trí tương đối của hai đường thẳng là