Câu 3. Nhân dịp đầu năm mới, giáo viên chủ nhiệm lì xì cho học sinh lớp 12 chuyên toán (biết lớp có $35$ học sinh) với phương thức: Giáo viên đưa ra $35$ phong bì, trong đó $5$ phong bì có tiền lì xì và $30$ phong bì rỗng, rồi giáo viên gọi lần lượt các học sinh lên tự chọn cho mình $1$ phong bì.

Kết quả $(b;c)$ của việc gieo một con súc sắc cân đối hai lần liên tiếp, trong đó $b$ là số chấm xuất hiện của lần gieo thứ nhất, $c$ là số chấm xuất hiện lần gieo thứ hai được thay vào phương trình bậc hai $x^2+bx+c=0$. Tính xác suất để phương trình bậc hai đó vô nghiệm?

Gieo đồng thời hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm trên hai con súc sắc bằng 6.

Câu 4. Có $30$ bóng đèn được xếp thành $1$ hàng ngang (đánh số thứ tự từ $1$ đến $30$) và được nối ngẫu nhiên vào $30$ công tắc sao cho mỗi công tắc chỉ nối duy nhất với một bóng đèn. Ban đầu, tất cả các bóng đèn đều bật sáng. Tắt ngẫu nhiên $3$ công tắc. Xác suất để giữa $2$ bóng đèn tắt kề nhau bất kỳ không có đúng $2$ bóng sáng là $\frac{m}{n}$, với $m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast },\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Tính $m+n$.

Chọn ngẫu nhiên 5 số nguyên dương khác nhau và nhỏ hơn 20. Xác suất để chọn được 5 số nguyên dương liên tiếp bằng

Hai thí sinh A và B cùng tham gia một cuộc thi vấn đáp. Cán bộ coi thi đưa cho mỗi thí sinh một bộ câu hỏi gồm $10$ câu hỏi khác nhau, được đựng trong $10$ phong bì dán kín, có hình thức giống hệt nhau, mỗi phong bì đựng $1$ câu hỏi; thí sinh chọn $3$ phong bì để xác định câu hỏi của mình. Biết rằng bộ $10$ câu hỏi của các thí sinh là như nhau. Hai phong bì được gọi là giống nhau nếu chứa cùng một câu hỏi. Xác suất để $3$ phong bì A chọn và $3$ phong bì B chọn có ít nhất hai phong bì giống nhau là $\frac{a}{b}$ (trong đó $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và $a,b\in \mathbb{N}$). Tính $a^2+b^2$.

Câu 1. Cho một hình bát giác đều $ABCDEFGH$ nội tiếp trong một đường tròn tâm $O$ như hình bên. Gắn ngẫu nhiên tám số tự nhiên $\{9;10;11;12;13;14;15;16\}$ vào tám đỉnh của bát giác đều này (mỗi số gắn đúng một đỉnh). Chọn ngẫu nhiên một tam giác có ba đỉnh lấy từ tám đỉnh của bát giác đã cho. Gọi xác suất để thu được một tam giác vuông với ba số trên ba đỉnh của tam giác (theo một thứ tự nào đó) lập thành một cấp số cộng là $\frac{m}{n}$ ($m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản). Giá trị của $m+n$ bằng bao nhiêu?