Câu 2. Một quần thể vi khuẩn ban đầu gồm $500$ vi khuẩn, sau đó bắt đầu tăng trưởng. Sau $1$ ngày, số lượng vi khuẩn của quần thể đó đã tăng lên thành $600$ vi khuẩn. Gọi $P(t)$ là số lượng vi khuẩn của quần thể đó tại thời điểm $t$, trong đó $t$ tính theo ngày ($0\le t\le 17$). Biết tốc độ tăng trưởng của quần thể vi khuẩn đó là đạo hàm $P^{\prime }(t)=k\sqrt{t}$, trong đó $k$ là hằng số.

Nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=2x+\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ thỏa mãn $F\left(\frac{\pi }{4}\right)=-1$ là

Một bể chứa dầu ban đầu có $50000$ lít dầu. Gọi $V(t)$ là thể tích dầu (lít) trong bể tại thời điểm $t$, trong đó $t$ tính theo giờ $0\le t\le 24$. Trong quá trình bơm dầu vào bể, thể tích dầu tăng theo tốc độ được biểu diễn bởi hàm số $V^{\prime }(t)=k\sqrt{t}$, với $k$ là hằng số dương. Sau $4$ giờ bơm liên tục, thể tích dầu trong bể đạt $58000$ lít.

Nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=x+\sin x$ thỏa mãn $F(0)=19$ là:

Biết $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{1}{x}$ và $F(1)=1$. Khi đó $F(3)$ bằng bao nhiêu?

Câu 1. Trong quá trình sản xuất giấy, việc kiểm soát bọt rất quan trọng để đảm bảo chất lượng sản phẩm. Giả sử $y(x)$ là nồng độ của một chất gây bọt còn dư trong bể xử lý (đơn vị mol/L) tại thời điểm $x$ (giây), $y(x)>0$ với $x\ge 0$. Sau khi thêm một lượng chất chống tạo bọt, nồng độ chất gây bọt giảm dần theo thời gian thỏa mãn hệ thức: $y^{\prime }(x)=-7\cdot 10^{-4}y(x)$ với $x\ge 0$. Biết rằng tại thời điểm bắt đầu xử lý $x=0$, nồng độ chất gây bọt là $0,05\text{ mol/L}$. Xét hàm số $f(x)=\ln y(x)$ với $x\ge 0$.

Tìm nguyên hàm $F(x)=\int (x+\sin x)\text{d}x$ biết $F(0)=19$.