Biết $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{1}{x}$ và $F(1)=1$. Khi đó $F(3)$ bằng bao nhiêu?

Câu 1. Trong quá trình sản xuất giấy, việc kiểm soát bọt rất quan trọng để đảm bảo chất lượng sản phẩm. Giả sử $y(x)$ là nồng độ của một chất gây bọt còn dư trong bể xử lý (đơn vị mol/L) tại thời điểm $x$ (giây), $y(x)>0$ với $x\ge 0$. Sau khi thêm một lượng chất chống tạo bọt, nồng độ chất gây bọt giảm dần theo thời gian thỏa mãn hệ thức: $y^{\prime }(x)=-7\cdot 10^{-4}y(x)$ với $x\ge 0$. Biết rằng tại thời điểm bắt đầu xử lý $x=0$, nồng độ chất gây bọt là $0,05\text{ mol/L}$. Xét hàm số $f(x)=\ln y(x)$ với $x\ge 0$.

Tìm nguyên hàm $F(x)=\int (x+\sin x)\text{d}x$ biết $F(0)=19$.

Cho hàm số $F(x)$ thỏa mãn $F^{\prime }(x)=3-5\cos x$ và $F(0)=5$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Câu 2: Trong một buổi học liên môn Toán – Lịch sử, thầy giáo nhắc lại chiến công hiển hách của nghĩa quân Tây Sơn do Quang Trung lãnh đạo trong mùa xuân Kỷ Dậu. Thầy đọc mấy câu thơ mở đầu buổi học:
*Xuân Kỷ Dậu trống vang trời,*
*Tây Sơn thần tốc rạng ngời non sông.*
*Đống Đa giặc vỡ từng dòng,*
*Quang Trung đại thắng, núi sông yên bình.*



Để minh họa cho việc một đại lượng thay đổi theo thời gian trong một mô hình toán học đơn giản, thầy giả sử hàm số $y(t)$ (với $t>0$, $t$ tính bằng ngày) biểu diễn mức suy giảm sức chống cự của quân địch theo thời gian kể từ khi nghĩa quân Tây Sơn mở cuộc tiến công.
Sau khi phân tích dữ liệu mô phỏng, người ta nhận thấy đại lượng này có dạng $y(t)$ với $y^{\prime }(t)=\frac{a}{t}$ ($a$ là hằng số thực).
Biết rằng mô hình thu được các dữ liệu sau: Tại thời điểm $t=1$ (ngày) và $t=e^2$ (ngày) thì $y(1)=5$ và $y(e^2)=1$.
Các khẳng định sau đúng hay sai?

Gọi $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số $f(x)=\sin x$, biết $F(0)=1$. Khi đó ${\int }_0^{\pi }F(x)\text{d}x$ có kết quả là

Cho hai hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) có đạo hàm trên và thỏa mãn f ^\prime ( x ) + g ( x ) = x ;
g ^\prime ( x ) + f ( x ) = - x , với $\forall$ x $\in$ . Biết f ( 0 ) = g ( 0 ) = 1 . Tính f (1) .
2 1 e2 + 2 e2 - 2