Cho hai hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) có đạo hàm trên và thỏa mãn f ^\prime ( x ) + g ( x ) = x ;
g ^\prime ( x ) + f ( x ) = - x , với $\forall$ x $\in$ . Biết f ( 0 ) = g ( 0 ) = 1 . Tính f (1) .
2 1 e2 + 2 e2 - 2

f ^\prime ( x) + g ( x) = x

* Ta có: \implies f ^\prime ( x) + g^\prime ( x ) = - f ( x ) - g ( x )

g ^\prime ( x ) + f ( x ) = - x
\iff f ^\prime ( x) + f ( x) = -g^\prime ( x ) - g ( x )
\iff f ^\prime ( x ) ex + f ( x ) ex = -g^\prime ( x ) ex - g ( x ) ex

\iff f ( x ) e x []^\prime = - g ( x ) e x []^\prime
\iff f ( x ) .e x = - g ( x ) e x + C .
\implies f ( x) = -g ( x) + c \iff c = 2 .

2 - f ( x) ex 2
Vậy g ( x ) = x
= - f ( x) .
e ex
* Ta có: f ^\prime ( x ) + g ( x ) = x
2
\iff f '( x) + - f ( x) = x
ex
\iff f ^\prime ( x ) e- x - f ( x ) e- x = xe- x - 2e-2 x

\iff f ( x ) e- x []^\prime = xe- x - 2e-2 x .
Vì hàm số có đạo hàm trên nên ta có:
1 1
^\prime
$\int$ f ( x ) e [] dx = $\int$ xe - 2e [] dx \iff f ( x ) e - x = (- xe - x - e - x + e -2 x )
-x -x -2 x 1 1

0 0
0 0

1 2 1
\iff f (1) e -1 = 2
- + 1 \iff f (1) = + e - 2
e e e
1
Vậy f (1) = + e - 2 .
e