Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện $f^{\prime }(x)=x+\sin x$ và $f(0)=1$. Tìm $f(x)$.

Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\left(x^2-2\right)\left(2x+1\right)$ trên $\mathbb{R}$ và $F\left(2\right)=9$. Tính $F\left(0\right)$ với kết quả làm tròn đến hàng phần chục.

Biết $F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\sin x$ trên $\mathbb{R}$ và $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=10$. Tính $F\left(0\right)$.

Một tấm ván gỗ chỉ được hỗ trợ ở hai đầu $O$ và $P$, cách nhau 4 m. Tấm ván võng xuống dưới do trọng lượng của nó tạo thành một đường cong. Xét trên hệ trục $Oxy$ như hình vẽ dưới, đơn vị mỗi trục là mét, đường cong trong hình vẽ có phương trình $y=f(x)$.



Người ta chứng minh được $f^{\prime \prime }(x)=\frac{1}{100}\left(2x-\frac{x^2}{2}\right)$ với $0\le x\le 4$.

Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=2x-\frac{1}{x}$ trên $\left(0;+\infty \right)$ thỏa mãn $F(1)=1$. Tính $F(e)$.

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ thỏa mãn $f(x)=\frac{x^2+5x-7}{x}$.

Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}3x^2-2x+m& \text{khi }x\ge 1\\ 1-4x& \text{khi }x<1\end{array}$ ($m$ là tham số thực) liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết rằng $f(x)$ có nguyên hàm trên $\mathbb{R}$ là $F(x)$ thỏa mãn $F(-2)=-6$.