Gọi $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số $f(x)=\sin x$, biết $F(0)=1$. Khi đó ${\int }_0^{\pi }F(x)\text{d}x$ có kết quả là

Cho hai hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) có đạo hàm trên và thỏa mãn f ^\prime ( x ) + g ( x ) = x ;
g ^\prime ( x ) + f ( x ) = - x , với $\forall$ x $\in$ . Biết f ( 0 ) = g ( 0 ) = 1 . Tính f (1) .
2 1 e2 + 2 e2 - 2

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{1;4\}$ có $f^{\prime }(x)=\frac{2x-5}{x^2-5x+4}$ thỏa mãn $f(3)=1$. Giá trị $f(2)$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{-1;1\}$ thỏa mãn $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x^2-1}$. Biết $f(3)+f(-3)=4$ và $f\left(\frac{1}{3}\right)+f\left(-\frac{1}{3}\right)=2$. Tính giá trị của biểu thức $T=f(-5)+f(0)+f(2)$.

Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện $f^{\prime }(x)=x+\sin x$ và $f(0)=1$. Tìm $f(x)$.

Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\left(x^2-2\right)\left(2x+1\right)$ trên $\mathbb{R}$ và $F\left(2\right)=9$. Tính $F\left(0\right)$ với kết quả làm tròn đến hàng phần chục.

Biết $F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\sin x$ trên $\mathbb{R}$ và $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=10$. Tính $F\left(0\right)$.