Một túi chứa ba quả bóng được đánh số $1,2$ và $3$. Bạn An chọn ngẫu nhiên một trong các quả bóng này và ghi lại số trên quả bóng được chọn. Sau đó, An tung một số đồng xu cân đối đồng chất bằng với số trên quả bóng đã chọn.

Để lên đến đỉnh S của một ngọn núi từ một điểm xuất phát D, những người đi bộ có thể đi theo nhiều tuyến đường khác nhau. Hành trình đi không thể kết thúc trong một ngày, vì vậy họ phải ngủ lại một đêm ở một trong hai nhà trú ẩn, kí hiệu là $R_1$ và $R_2$. Sáng hôm sau, để lên đến đỉnh núi, họ có hai cách: hoặc đi lên đỉnh núi trực tiếp hoặc là đi đến đó sau khi đã dừng nghỉ tại nhà trú ẩn $R_3$. Tình huống được mô tả qua sơ đồ như dưới đây, trong đó khoảng cách giữa các điểm (tính bằng km) được cho trên sơ đồ.
Các khảo sát trên một thời gian dài về các tuyến đường đi có thể có cho phép khẳng định rằng khi chọn ngẫu nhiên một người đi bộ thì:
- Xác suất mà người này ngủ lại ở nhà trú ẩn $R_1$ là $\frac{1}{3}$.
- Xác suất mà người này leo trực tiếp lên đến đỉnh núi và xuất phát từ nhà trú ẩn $R_1$ là $\frac{3}{4}$.
- Xác suất mà người này leo trực tiếp lên đến đỉnh núi và xuất phát từ nhà trú ẩn $R_2$ là $\frac{2}{3}$.
Tính xác suất để anh ta đến đỉnh núi có tổng quãng đường duy chuyển lớn hơn 15 km.

Cho sơ đồ hình cây như hình vẽ bên dưới.



Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $P(B)=P(A)P(B\mid A)+P(\overline{A})P(B\mid \overline{A})$.

b) $P(B\mid A)=0,6$.

c) $P(B)=0,62$.

d) $P(\overline{B})=0,4$.

Một người săn thỏ trong rừng, khả năng anh ta bắn trúng thỏ trong mỗi lần bắn tỉ lệ nghịch với khoảng cách bắn. Anh ta bắn lần đầu ở khoảng cách 20m với xác suất trúng thỏ là 0,5, nếu bị trượt anh ta bắn viên thứ 2 ở khoảng cách 30m, nếu lại trượt anh ta bắn viên thứ 3 ở khoảng cách 50m. Tính xác suất để người thợ săn bắn trúng thỏ sau nhiều nhất ba lần bắn.

Một chiếc hộp có 100 viên bi, trong đó có 70 viên bi có tô màu và 30 viên bi không tô màu; các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Bạn Nam lấy ra viên bi đầu tiên, sau đó bạn Việt lấy ra viên bi thứ 2.

Hai bạn An, Bình cùng ném bóng rổ. Mỗi lần chỉ có một người ném với quy tắc như sau: Nếu ném trúng thì người đó sẽ ném tiếp, nếu ném trượt thì đến lượt người kia ném. Ở mọi lần ném bóng, xác suất An ném trúng đều là $0,4$ và xác suất Bình ném trúng đều là $0,6$. Hai bạn rút thăm để quyết định người ném bóng đầu tiên. Xác suất người được ném đầu tiên là An và xác suất người được ném đầu tiên là Bình cùng bằng $0,5$. Tìm xác suất để người ném bóng lần thứ 2 là Bình.

Cho sơ đồ hình cây như sau

Tính xác suất của biến cố $B$.