Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đoạn thẳng $AB$ và $CD$. Biết tọa độ các điểm $A(1;1;1)$, $B(2;3;1)$, $C(3;1;3)$, $D(3;2;4)$. Hai điểm $M,N$ thay đổi và lần lượt thuộc các đoạn thẳng $AB,CD$.

Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh đáy bằng $a$ và chiều cao bằng $2a$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AM$ và $B^{\prime }N$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng ${\Delta }_1:\frac{x+1}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-1}{1}$ và ${\Delta }_2:\frac{x+2}{-4}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+2}{-1}$. Gọi d là đường thẳng chứa đoạn vuông góc chung của ${\Delta }_1$ và ${\Delta }_2$. Điểm $Q(3;b;c)$ thuộc đường thẳng d. Tính giá trị $(b+c)$

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng 10. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SC=10\sqrt{5}$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $CD$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $MN$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng 6. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SC=6\sqrt{5}$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $CD$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $MN$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $A$ và $B$; $AB=BC=a$; $AD=2a$; $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$, góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $45^{\circ }$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AD$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SM$ và $BD$ là:

Một căn phòng dạng hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với kích thước $AB=4$ m, $BC=3$ m và chiều cao $A{A}^{\prime }=3$ m. Các điểm $M,N$ lần lượt là trung điểm của $B{B}^{\prime }$ và $C{C}^{\prime }$. Anh Cường muốn thiết kế một hệ thống dây trang trí bao gồm các đoạn dây nối thẳng từ $M$ đến $N$, từ $C^{\prime }$ đến $D$ và từ $P$ đến $Q$, trong đó $P$ là điểm thuộc đoạn $MN$, $Q$ là điểm thuộc đoạn $C^{\prime }D$. Giả sử các đầu nối không đáng kể thì anh Cường cần ít nhất bao nhiêu mét dây trang trí?