Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $A$ và $B$; $AB=BC=a$; $AD=2a$; $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$, góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $45^{\circ }$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AD$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SM$ và $BD$ là:

Một căn phòng dạng hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với kích thước $AB=4$ m, $BC=3$ m và chiều cao $A{A}^{\prime }=3$ m. Các điểm $M,N$ lần lượt là trung điểm của $B{B}^{\prime }$ và $C{C}^{\prime }$. Anh Cường muốn thiết kế một hệ thống dây trang trí bao gồm các đoạn dây nối thẳng từ $M$ đến $N$, từ $C^{\prime }$ đến $D$ và từ $P$ đến $Q$, trong đó $P$ là điểm thuộc đoạn $MN$, $Q$ là điểm thuộc đoạn $C^{\prime }D$. Giả sử các đầu nối không đáng kể thì anh Cường cần ít nhất bao nhiêu mét dây trang trí?

Trong hệ $Oxyz$ cho hình chóp đều $S.OBC$ $B(0;2;0)$, $C\left(\sqrt{3};1;0\right)$, $SO=2$. Gọi $K$, $M$ là trung điểm của $OB$, $BC$. Xét tính đúng sai của các phát biểu sau:

Cho hình lăng trụ $ABC\cdot A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác đều cạnh 2. Hình chiếu vuông góc của $A^{\prime }$ lên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với trọng tâm tam giác $ABC$. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{A}^{\prime }$ và $BC$ bằng $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ $ABC\cdot A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$, $AB=4a$ và $\widehat{BAD}=120^{\circ }$. Gọi $H$ là trung điểm của $AO$. Biết $SH$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SH=a\sqrt{3}$. Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của ba cạnh $CD,BC$ và $SA$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $PN$ và $SM$ bằng $\frac{2a\sqrt{m}}{n}$. Tính $m-n$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$, $AB=4a$ và $\widehat{BAD}=120^{\circ }$. Gọi $H$ là trung điểm của $AO$. Biết $SH$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SH=a\sqrt{3}$. Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của ba cạnh $CD,BC$ và $SA$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $PN$ và $SM$ bằng $\frac{2a\sqrt{m}}{n}$. Tính $m-n$.

Một phần mềm mô phỏng vận động viên tập bắn bia mục tiêu có kích thước nhỏ $(42\text{cm}\times 42\text{cm})$ trong không gian $Oxyz$ (giả sử $|\vec{i}|=|\vec{j}|=|\vec{k}|=1\text{cm}$). Cho biết vận động viên đó sử dụng súng ngắm 3 và đứng cách xa bia mục tiêu là 100 m, trục $d$ của nòng súng và cọc đỡ bia $d^{\prime }$ lần lượt có phương trình $d:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=2\\ z=4\end{array}$ và $d^{\prime }:\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\\ z=1+3t^{\prime }\end{array}$. Để bắn trúng hồng tâm (thang điểm 10) thì vận động viên phải ngắm bắn vào điểm $N(a;b;c)\in d^{\prime }$ và cách giao điểm của $d$ và $d^{\prime }$ một khoảng 6 cm. Khi $c<0$, tính giá trị biểu thức $2a-b+3c$.