Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $\widehat{ABC}=30^{\circ }$, tam giác $SBC$ là tam giác đều cạnh $a\sqrt{3}$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách $h$ từ điểm $C$ đến mặt phẳng $(SAB)$ bằng

(AI giải đề cho tôi)
Vì $BC$ là cạnh huyền của tam giác $ABC$ vuông tại $A$ với $\hat{B}=30^{\circ }$ và $BC=a\sqrt{3}$ (cạnh của tam giác đều $SBC$), ta có $AB=BC\cos 30^{\circ }=\frac{3a}{2}$, $AC=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$, tam giác $SBC$ đều nên $SM\perp BC$, $SM=\frac{3a}{2}$; vì $(SBC)\perp (ABC)$ nên $SM\perp (ABC)$. Đặt hệ tọa độ: $B(0,0,0)$, $C(a\sqrt{3},0,0)$, $A\left(\frac{3a\sqrt{3}}{4},\frac{3a}{4},0\right)$, $S\left(\frac{a\sqrt{3}}{2},0,\frac{3a}{2}\right)$. Khi đó $SA=a\sqrt{3}$. Vecto pháp tuyến của $(SAB)$: $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AS}=\frac{3a^2}{8}(3,-3\sqrt{3},-\sqrt{3})$. Khoảng cách từ $C$ đến $(SAB)$: $h=\frac{|\vec{n}\cdot \overrightarrow{BC}|}{|\vec{n}|}=\frac{\frac{9a^3\sqrt{3}}{8}}{\frac{a^2\sqrt{351}}{8}}=\frac{9a\sqrt{3}}{3\sqrt{39}}=\frac{3a}{\sqrt{13}}=\frac{3a\sqrt{13}}{13}$. Kiểm tra bằng thể tích: $V_{SABC}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot SM=\frac{1}{3}\cdot \frac{3a^2\sqrt{3}}{8}\cdot \frac{3a}{2}=\frac{3a^3\sqrt{3}}{16}$, và $d(C,(SAB))=\frac{3V}{S_{SAB}}$ cho cùng kết quả $\frac{3a\sqrt{13}}{13}$.