Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là vuông cạnh $a$. Biết $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=a\sqrt{3}$. Vẽ đường cao $AH$ của tam giác $SAB$. Vẽ đường cao $AK$ của tam giác $SAD$. Khi đó:

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $D(0,a,0)$, $C(a,a,0)$, $S(0,0,a\sqrt{3})$.
a) Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$; lại $AB\perp BC$ nên $BC\perp (SAB)$, mà $AH\subset (SAB)$ suy ra $BC\perp AH$. Đúng.
b) $BC\perp (SAB)$ nên $(SBC)\cap (SAB)=SB$ và $d(A,(SBC))=d(A,SB)=AH$. Tam giác $SAB$ vuông tại $A$, $SB=2a$: $AH=\frac{SA\cdot AB}{SB}=\frac{a\sqrt{3}\cdot a}{2a}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Đúng.
c) $V_{S.ABD}=\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$; $BD=a\sqrt{2}$, $SB=SD=2a$, diện tích $(SBD)=\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{2}\cdot \sqrt{4a^2-\frac{a^2}{2}}=\frac{a^2\sqrt{7}}{2}$. Suy ra $d(A,(SBD))=\frac{3V}{S_{SBD}}=\frac{a\sqrt{21}}{7}\ne \frac{a\sqrt{2}}{7}$. Sai.
d) $H=\left(\frac{3a}{4},0,\frac{a\sqrt{3}}{4}\right)$, $K=\left(0,\frac{3a}{4},\frac{a\sqrt{3}}{4}\right)$, mặt phẳng $(AHK)$ qua $A$ có pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{AH}\times \overrightarrow{AK}\propto (1,1,-\sqrt{3})$, phương trình $x+y-\sqrt{3}z=0$. $d(C,(AHK))=\frac{2a}{\sqrt{5}}=\frac{2a\sqrt{5}}{5}\ne \frac{a\sqrt{5}}{5}$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$BC\perp SA$ và $BC\perp AB$ nên $BC\perp (SAB)$, suy ra $BC\perp AH$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$d(A,(SBC))=d(A,SB)=AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tính đúng $d(A,(SBD))=\frac{a\sqrt{21}}{7}$, không bằng $\frac{a\sqrt{2}}{7}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tọa độ cho $d(C,(AHK))=\frac{2a\sqrt{5}}{5}$, không bằng $\frac{a\sqrt{5}}{5}$.