Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{9x+7}$, trục hoành và các đường thẳng $x=2;x=7$. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục $Ox$ là

Câu 3. Một mô hình $(H)$ cao $1\text{ m}$ có dạng hình “chóp lục giác cong đều” như hình vẽ bên dưới. Hai đáy của $(H)$ là hai hình lục giác đều bằng nhau tâm $O$ và $O^{\prime }$, cạnh bằng $3\text{ dm}$. Các cạnh bên của $(H)$ là các sợi dây thép $C_1,C_2,C_3,C_4,C_5,C_6$ nằm trên các đường hypebol có trục đối xứng $O{O}^{\prime }$. Biết hình tạo bởi các đoạn giao tuyến của $(H)$ với mặt phẳng $(\alpha )$ vuông góc với $O{O}^{\prime }$ là một lục giác đều. Khi mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua trung điểm của $O{O}^{\prime }$ thì lục giác đều có cạnh $l=2\text{ dm}$. Thể tích mô hình là bao nhiêu ${\text{dm}}^3$? *(Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)*.

Một người thiết kế mô hình một cái đèn ngủ bằng nhựa có hình dạng như hình vẽ 3D ở hình 1. Hình 2 là mặt cắt bởi mặt phẳng cắt đi qua trục của đèn, hình 3 là bản vẽ toán học. Tam giác $ABC$ trong hình 3 là tam giác đều cạnh $4\sqrt{3}\text{ dm}$ và $M,N,P$ là trung điểm các cạnh, $G$ là trọng tâm của tam giác. Phần tô đậm trong hình 3 được tạo bởi giao nhau của các cặp cung tròn đi qua 3 điểm là: $AGB$ và $AGC$, $PGN$ và $PGM$, $PGN$ và $NGM$ (xem hình vẽ). Biết rằng chiếc đèn ngủ được tạo thành khi xoay phần tô đậm trong hình 3 quanh trục là đường thẳng $AM$. Tính thể tích của mô hình cái đèn ngủ này (làm tròn đến 3 chữ số thập phân).


*Hình 1: Vật thể 3D*


*Hình 2: Mặt cắt qua trục*


*Hình 3: Bản vẽ toán học*

Câu 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường $y=x^3+3,y=0,x=0,x=2$. Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay $(H)$ xung quanh trục $Ox$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 6. Một vật thể dùng để trang trí nội thất có dạng như hình (H1) bên dưới. Đây là một khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng $(R)$ (phần gạch chéo trong hình (H2)) quanh trục $AB$. Hình phẳng $(R)$ được giới hạn bởi các cạnh $AB,AD$ của hình vuông $ABCD$ tâm $I$, độ dài cạnh $4\text{ cm}$ và các cung phần tư $DI,IB$ của các đường tròn bán kính bằng $2\text{ cm}$ với tâm lần lượt là trung điểm của các cạnh $AD,AB$. Thể tích của vật thể (H1) bằng bao nhiêu centimét khối (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần chục)?

Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 2  1, trục Ox và
hai đường thẳng x  0, x  3 quay quanh trục Ox bằng
32 40

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường $y=2x-x^2$, $y=0$. Quay $(H)$ quanh trục hoành tạo thành khối tròn xoay có thể tích là