Câu 6. Với hệ trục tọa độ $Oxyz$ thích hợp, đơn vị trên mỗi trục là mét, người ta thiết lập một đường ống dẫn dầu trên không dọc theo đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=0\\ z=16\end{array}$ ($t$ là tham số). Vì địa hình phức tạp, người ta đành chọn điểm $A(12;10;15)$ cạnh vách núi để làm điểm trung chuyển từ mặt đất (mặt phẳng $(Oxy)$) đến đường ống này. Dựa vào kinh nghiệm của mình, họ phải chọn vị trí $B$ thuộc đường ống và vị trí $C$ thuộc mặt đất sao cho tổng độ dài các đoạn đường $AB+BC+AC$ là bé nhất, tìm giá trị bé nhất đó theo đơn vị mét, làm tròn đến hàng phần mười.

Câu 5. Mỗi căn nhà trong Hình 1 được phác thảo dưới dạng một hình lăng trụ đứng tam giác $OAB.O^{\prime }{A}^{\prime }{B}^{\prime }$, với hệ trục toạ độ $Oxyz$ thể hiện như Hình 2 (đơn vị đo lấy theo centimét), có $A^{\prime }(240;450;0)$ và $B^{\prime }(120;450;300)$. Biết chi phí lát gạch nền nhà là $200.000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$, chi phí làm hai mái nhà là $700.000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$, chi phí làm mặt trước và mặt sau nhà là $600.000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$. Tổng chi phí làm mỗi căn nhà là bao nhiêu triệu đồng (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Câu 6. Hệ thống định vị toàn cầu GPS là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Trong cùng một thời điểm vị trí của điểm $M$ trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh. Giả sử trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, có bốn vệ tinh lần lượt đặt tại các điểm $A(0;4;5),B(3;0;5),C(3;4;0),D(3;4;5)$ và vị trí $M(a;b;c)$ trên đoạn thẳng $AB$ thỏa mãn tổng khoảng cách từ các điểm $A,B,C$ đến đường thẳng $MD$ lớn nhất. Khi đó giá trị $a+b+c$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=0\\ z=4\end{array}$ và điểm $A(0;6;4)$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng thay đổi luôn chứa đường thẳng $d$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng $(P)$. Tính khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ $O$ đến điểm $H$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(5;0;2),B(5;10;4)$. Các điểm $M,N$ di động trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho độ dài $MN$ bằng 2. Tổng $AM+BN$ có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-1;2;5)$ và $B(3;-1;2)$. Xét hai điểm $M$ và $N$ thay đổi thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MN=2$. Giá trị nhỏ nhất của $AM+BN$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, một bức tường hình chữ nhật $ABCD$ có chiều cao $3\text{ m}$ được dựng vuông góc với mặt phẳng $(Oxy)$ với hai điểm $A(3;1;0)$ và $B(1;4;0)$. Giả sử rằng mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt đất, trục $Oz$ hướng lên trên và mỗi đơn vị trên hệ trục tương ứng với $1\text{ m}$. Một trạm phát sóng được đặt tại điểm $M(5;6;5)$. Trạm phát sóng phát ra các sóng thẳng và truyền về mọi hướng nhưng khi gặp bức tường thì bị chắn lại vì vậy có một vùng sau bức tường không có sóng. Một chất điểm bắt đầu chuyển động thẳng đều trong mặt phẳng $(Oxy)$ từ điểm $N(-6;-4;0)$ qua gốc tọa độ $O$ đến chân tường với vận tốc $0,8\text{ m/s}$. Tính thời gian theo giây từ lúc chất điểm bắt đầu đi vào vùng mất sóng đến lúc chất điểm chạm vào chân tường và quay về vị trí ban đầu, giả thiết độ dày của bức tường là không đáng kể (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).