Câu 6. Hệ thống định vị toàn cầu GPS là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Trong cùng một thời điểm vị trí của điểm $M$ trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh. Giả sử trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, có bốn vệ tinh lần lượt đặt tại các điểm $A(0;4;5),B(3;0;5),C(3;4;0),D(3;4;5)$ và vị trí $M(a;b;c)$ trên đoạn thẳng $AB$ thỏa mãn tổng khoảng cách từ các điểm $A,B,C$ đến đường thẳng $MD$ lớn nhất. Khi đó giá trị $a+b+c$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=0\\ z=4\end{array}$ và điểm $A(0;6;4)$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng thay đổi luôn chứa đường thẳng $d$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng $(P)$. Tính khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ $O$ đến điểm $H$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(5;0;2),B(5;10;4)$. Các điểm $M,N$ di động trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho độ dài $MN$ bằng 2. Tổng $AM+BN$ có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-1;2;5)$ và $B(3;-1;2)$. Xét hai điểm $M$ và $N$ thay đổi thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MN=2$. Giá trị nhỏ nhất của $AM+BN$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, một bức tường hình chữ nhật $ABCD$ có chiều cao $3\text{ m}$ được dựng vuông góc với mặt phẳng $(Oxy)$ với hai điểm $A(3;1;0)$ và $B(1;4;0)$. Giả sử rằng mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt đất, trục $Oz$ hướng lên trên và mỗi đơn vị trên hệ trục tương ứng với $1\text{ m}$. Một trạm phát sóng được đặt tại điểm $M(5;6;5)$. Trạm phát sóng phát ra các sóng thẳng và truyền về mọi hướng nhưng khi gặp bức tường thì bị chắn lại vì vậy có một vùng sau bức tường không có sóng. Một chất điểm bắt đầu chuyển động thẳng đều trong mặt phẳng $(Oxy)$ từ điểm $N(-6;-4;0)$ qua gốc tọa độ $O$ đến chân tường với vận tốc $0,8\text{ m/s}$. Tính thời gian theo giây từ lúc chất điểm bắt đầu đi vào vùng mất sóng đến lúc chất điểm chạm vào chân tường và quay về vị trí ban đầu, giả thiết độ dày của bức tường là không đáng kể (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Câu 5. Trong bản thiết kế của dự án lắp đặt đường dây điện cho vùng núi tỉnh A, các kĩ sư dự kiến xây dựng các trụ điện cao $120\text{ m}$. Để giữ thăng bằng cho trụ điện, hệ thống dây cáp được nối từ đỉnh trụ $S$ xuống mặt đất giả định tại các điểm $A,B,C$ trên mặt phẳng nằm ngang sao cho $S.ABC$ là hình chóp tam giác đều, khoảng cách từ chân trụ đến các điểm $A,B,C$ bằng $40\sqrt{3}\text{ m}$. Tuy nhiên, do địa hình thực tế là sườn núi dốc $10^{\circ }$ so với mặt phẳng nằm ngang nên vị trí tiếp đất thực tế của dây cáp sẽ tại $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ ($B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$ song song với thân trụ điện, tham khảo hình vẽ). Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét) với $O$ trùng với chân trụ điện, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt phẳng thiết kế nằm ngang, điểm $A$ thuộc tia $Oy$, trục $Oz$ hướng lên trên. Khi đó, tọa độ điểm $B^{\prime }(x_{B^{\prime }};y_{B^{\prime }};z_{B^{\prime }})$, $C^{\prime }(x_{C^{\prime }};y_{C^{\prime }};z_{C^{\prime }})$. Giá trị $|z_{B^{\prime }}-z_{C^{\prime }}|$ bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Câu 5: Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có tất cả các cạnh bằng $2\text{ cm}$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $B^{\prime }{C}^{\prime }$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }$. Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi $MN$ và $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$. Tính ${\tan }^2\alpha$.