Câu 5: Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có tất cả các cạnh bằng $2\text{ cm}$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $B^{\prime }{C}^{\prime }$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }$. Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi $MN$ và $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$. Tính ${\tan }^2\alpha$.

Hình minh họa sơ đồ một ngôi nhà trong không gian $Oxyz$ với độ dài đơn vị trên các trục tọa độ bằng $1\mathrm{m}$, trong đó nền nhà, bốn bức tường và hai mái nhà đều là hình chữ nhật.

Hệ thống định vị toàn cầu (tên tiếng Anh là Global Positioning System, viết tắt là GPS) là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật thể trong không gian. Ta có thể mô phỏng cơ chế hoạt động của hệ thống GPS trong không gian như sau: trong cùng một thời điểm, tọa độ của một điểm $M$ trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước, trên mỗi vệ tinh có một máy thu tín hiệu. Bằng cách so sánh sự sai lệch về thời gian từ lúc tín hiệu được phát đi với thời gian nhận phản hồi tín hiệu đó, mỗi máy thu tín hiệu xác định được một khoảng cách từ vệ tinh đến vị trí $M$ cần tìm tọa độ.

Bốn vệ tinh được đặt tại các điểm có tọa độ lần lượt là $A\left(9;-2;7\right)$, $B\left(1;4;8\right)$, $C\left(7;-3;-5\right)$, $D\left(-4;-11;12\right)$. Một con tàu đang ở vị trí điểm $M\left(x;y;z\right)$ mà khoảng cách từ nó đến các vệ tinh lần lượt là $MA=\sqrt{58},MB=\sqrt{83}$, $MC=\sqrt{173},MD=\sqrt{97}$. Khi đó tổng bình phương tọa độ điểm $M$ bằng bao nhiêu?

Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có tất cả các cạnh bằng 12 và $\widehat{A^{\prime }AB}=60^{\circ }$. Giả sử điểm $M$ thuộc đoạn thẳng $A{C}^{\prime }$, có ảnh qua phép chiếu song song lên mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ theo phương chiếu $B{A}^{\prime }$ là điểm $N$ thuộc đoạn thẳng $B^{\prime }{D}^{\prime }$. Độ dài đoạn thẳng $MN$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(0;0;4)$ và $N\left(\frac{3}{2};2;6\right)$. Xét điểm $I(a;b;c)$ thay đổi sao cho $IN$ luôn vuông góc với $OM$ và diện tích tam giác $IMO$ bằng 8. Khi độ dài đoạn thẳng $IN$ đạt giá trị lớn nhất, giá trị $5a+5b+c$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho 3 điểm $A(-5;2;0)$, $B(-4;-5;2)$ và $C(0;-3;-2)$. Điểm $M$ di chuyển trên trục $Ox$. Đặt $P=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|+\frac{3}{2}\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$. Biết giá trị nhỏ nhất của $P$ có dạng $a\sqrt{b}$ trong đó $a,b\in \mathbb{N}$ và $b$ là số nguyên tố. Tính $2a+3b$.

Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho 3 điểm $A(5;-2;0),B(4;5;-2)$ và $C(0;3;2)$. Điểm $M$ di chuyển trên trục $Ox$. Đặt $Q=4\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|+6\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$. Biết giá trị nhỏ nhất của $Q$ có dạng $a\sqrt{b}$ trong đó $a,b\in \square$ và $b$ là số nguyên tố. Khi đó tổng $a+b$ bằng bao nhiêu ?