Câu 2: Trong một trò chơi điện tử, với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho trước, đơn vị giả định trên mỗi trục là mét, người chơi điều khiển nhân vật chính như một chất điểm di động trên mặt đất (là mặt phẳng $Oxy$). Sau khi chiến đấu để vượt qua thử thách, nhân vật chính muốn qua màn thì phải đến vị trí gần với một phi thuyền để được bay vào trong phi thuyền đi đến một màn khác, gặp những thử thách mới. Giả sử nhân vật chính sau khi chiến đấu xong màn một thì đứng ở vị trí $A$ có tọa độ $(1;2;0)$, khi ấy trên bầu trời xuất hiện một chiếc phi thuyền ở vị trí $(-8;-3;4)$, nhân vật chính nếu cách phi thuyền không quá $5$ mét thì được phép bay vào phi thuyền.

Theo hướng dẫn giải chi tiết (Mã đề 9101, trang 10), Câu 2 (Phần II, câu 14): a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng.

Lời giải chi tiết:

- a) ĐÚNG: Phi thuyền ở vị trí $P(-8;-3;4)$, bán kính vùng được phép bay là $R=5\text{ m}$. Vùng được phép bay là hình cầu tâm $P(-8;-3;4)$, bán kính $5$ có biên là mặt cầu phương trình: $(x+8{)}^2+(y+3{)}^2+(z-4{)}^2=25$.

- b) ĐÚNG: Khoảng cách từ vị trí $A(1;2;0)$ đến $P(-8;-3;4)$ là: $AP=\sqrt{(1+8{)}^2+(2+3{)}^2+(0-4{)}^2}=\sqrt{81+25+16}=\sqrt{122}$. Khoảng cách ngắn nhất từ $A$ đến mặt cầu vùng bay là: $\sqrt{122}-5\approx 11,045-5=6,045\approx 6,05\text{ m}$.

- c) ĐÚNG: Nhân vật di chuyển trên mặt đất $z=0$. Hình chiếu vuông góc của $P$ xuống mặt đất là $P^{\prime }(-8;-3;0)$. Khoảng cách ngắn nhất đạt được khi nhân vật di chuyển trên đoạn thẳng nối $A(1;2;0)$ và $P^{\prime }(-8;-3;0)$. Vectơ chỉ phương $\overrightarrow{A{P}^{\prime }}=(-9;-5;0)$, cùng phương với vectơ $(9;5;0)$. Phương trình tham số đường thẳng qua $A(1;2;0)$ có dạng $\{\begin{array}{l}x=1+9t\\ y=2+5t\\ z=0\end{array}$.

- d) ĐÚNG: Vết của mặt cầu trên mặt phẳng $z=0$ là hình tròn $(x+8{)}^2+(y+3{)}^2\le 25-16=9$, tâm $P^{\prime }(-8;-3;0)$, bán kính $r=3\text{ m}$. Khoảng cách $A{P}^{\prime }=\sqrt{(1+8{)}^2+(2+3{)}^2}=\sqrt{106}\approx 10,296\text{ m}$. Quãng đường nhân vật phải chạy là $s=\sqrt{106}-3\approx 7,296\text{ m}$. Với gia tốc $a=1{\text{ m/s}}^2$: $s=\frac{1}{2}a{t}_1^2⟹t_1=\sqrt{2s}\approx 3,82\text{ giaˆy}$. Thời gian bay lên phi thuyền với khoảng cách $5\text{ m}$ và vận tốc $6\text{ m/s}$ là: $t_2=\frac{5}{6}\approx 0,83\text{ giaˆy}$. Tổng thời gian: $t=t_1+t_2\approx 3,82+0,83=4,65\approx 4,7\text{ giaˆy}$.