Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có tất cả các cạnh bằng 12 và $\widehat{A^{\prime }AB}=60^{\circ }$. Giả sử điểm $M$ thuộc đoạn thẳng $A{C}^{\prime }$, có ảnh qua phép chiếu song song lên mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ theo phương chiếu $B{A}^{\prime }$ là điểm $N$ thuộc đoạn thẳng $B^{\prime }{D}^{\prime }$. Độ dài đoạn thẳng $MN$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(0;0;4)$ và $N\left(\frac{3}{2};2;6\right)$. Xét điểm $I(a;b;c)$ thay đổi sao cho $IN$ luôn vuông góc với $OM$ và diện tích tam giác $IMO$ bằng 8. Khi độ dài đoạn thẳng $IN$ đạt giá trị lớn nhất, giá trị $5a+5b+c$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho 3 điểm $A(-5;2;0)$, $B(-4;-5;2)$ và $C(0;-3;-2)$. Điểm $M$ di chuyển trên trục $Ox$. Đặt $P=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|+\frac{3}{2}\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$. Biết giá trị nhỏ nhất của $P$ có dạng $a\sqrt{b}$ trong đó $a,b\in \mathbb{N}$ và $b$ là số nguyên tố. Tính $2a+3b$.

Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho 3 điểm $A(5;-2;0),B(4;5;-2)$ và $C(0;3;2)$. Điểm $M$ di chuyển trên trục $Ox$. Đặt $Q=4\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|+6\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$. Biết giá trị nhỏ nhất của $Q$ có dạng $a\sqrt{b}$ trong đó $a,b\in \square$ và $b$ là số nguyên tố. Khi đó tổng $a+b$ bằng bao nhiêu ?

b) Ở phường Tân An, có hai trạm phát sóng wifi A, B đặt trên hai trụ cao 20m và hai trụ này cách nhau 500m. Trạm A có tầm phát sóng 400m, trạm B có tầm phát sóng 300m. Trên mặt đất có nút giao hai con đường ở vị trí C cách chân hai trạm phát sóng A và B lần lượt là 600m và 400m. Biết có một Flycam đang bay trên không trung trong vùng phủ sóng wifi của trạm A hoặc trạm B và một ô tô đang di chuyển trên con đường thẳng nối từ chân trạm A đến C, rồi chuyển hướng vào đường thẳng từ C đến chân trạm B. Hỏi khoảng cách lớn nhất có thể của Flycam với ô tô là bao nhiêu mét (giả sử chân trụ trạm A và B ở sát cạnh đường và Flycam được điều khiển bởi sóng wifi này nên khi ra ngoài vùng phủ sóng của trạm A và B thì sẽ bị rơi).

Một ngôi nhà hình lăng trụ đứng $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$. $AB=AD=4(m);BC=3,5(m);B{B}^{\prime }=6m$ (xem hình vẽ). Ở bức tường $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$ người ta lắp một bóng điện cách cạnh $A^{\prime }{D}^{\prime }$ một khoảng bằng $3(m)$ và cách mặt sàn một khoảng bằng $3(m)$, còn ở bức tường $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ người ta lắp một bóng điện cách cạnh $B^{\prime }{C}^{\prime }$ một khoảng bằng $3(m)$ và cách mặt sàn một khoảng bằng $2,5(m)$. Một bảng điều khiển được đặt tại bức tường $A^{\prime }{B}^{\prime }C{D}^{\prime }$ cách cạnh $A^{\prime }{D}^{\prime }$ một khoảng bằng $1(m)$ và cao $1,5(m)$ so với mặt sàn. Người ta muốn nối dây điện từ bảng điều khiển men theo các bức tường (không mắc lên mái) đến 2 bóng điện trên. Hỏi cần tối thiểu bao nhiêu mét dây điện? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Một ngôi nhà hình lăng trụ đứng $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$. $AB=AD=4(m);BC=3,5(m);B{B}^{\prime }=6m$ (xem hình vẽ). Ở bức tường $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$ người ta lắp một bóng điện cách cạnh $A^{\prime }{D}^{\prime }$ một khoảng bằng $3(m)$ và cách mặt sàn một khoảng bằng $3(m)$, còn ở bức tường $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ người ta lắp một bóng điện cách cạnh $B^{\prime }{C}^{\prime }$ một khoảng bằng $3(m)$ và cách mặt sàn một khoảng bằng $2,5(m)$. Một bảng điều khiển được đặt tại bức tường $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cách cạnh $A^{\prime }{D}^{\prime }$ một khoảng bằng $1(m)$ và cao $1,5(m)$ so với mặt sàn. Người ta muốn nối dây điện từ bảng điều khiển men theo các bức tường (không mắc lên mái) đến 2 bóng điện trên. Hỏi cần tối thiểu bao nhiêu mét dây điện? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).