Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho 3 điểm $A(5;-2;0),B(4;5;-2)$ và $C(0;3;2)$. Điểm $M$ di chuyển trên trục $Ox$. Đặt $Q=4\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|+6\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$. Biết giá trị nhỏ nhất của $Q$ có dạng $a\sqrt{b}$ trong đó $a,b\in \square$ và $b$ là số nguyên tố. Khi đó tổng $a+b$ bằng bao nhiêu ?

(AI giải đề cho tôi)
Với $M(t;0;0)$ trên trục $Ox$: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=(\vec{A}+\vec{B}+\vec{C})-3\vec{M}=(9-3t;6;0)$, nên $4|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|=12\sqrt{(t-3{)}^2+4}$. Tương tự $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=(4-2t;8;0)$, nên $6|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|=12\sqrt{(t-2{)}^2+16}$. Vậy $Q=12\left[\sqrt{(t-3{)}^2+2^2}+\sqrt{(t-2{)}^2+4^2}\right]$. Biểu thức trong ngoặc là tổng khoảng cách từ điểm $(t;0)$ đến $(3;2)$ và $(2;-4)$ (lấy điểm đối xứng qua trục hoành), theo bất đẳng thức tam giác giá trị nhỏ nhất bằng khoảng cách giữa $(3;2)$ và $(2;-4)$: $\sqrt{1^2+6^2}=\sqrt{37}$, đạt khi $(t;0)$ nằm trên đoạn thẳng nối hai điểm. Do đó $Q_{\min }=12\sqrt{37}$, với $a=12$, $b=37$ (nguyên tố), nên $a+b=49$.