Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác vuông tại $C$, $A{A}^{\prime }=4$, $AC=4$, $CB=3$. Gọi G là trọng tâm tam giác CA'B' và I là trung điểm AB.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $C(0;0;0)$, $A(4;0;0)$, $B(0;3;0)$, $A^{\prime }(4;0;4)$, $B^{\prime }(0;3;4)$, $C^{\prime }(0;0;4)$.

a) Mặt phẳng $(A^{\prime }BC)$ chứa $\overrightarrow{BC}=(0;3;0)$, $\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=(4;-3;4)$ nên có VTPT $\vec{n}=\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{B{A}^{\prime }}=(12;0;-12)\parallel (1;0;-1)$. Với $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(0;0;4)$: $\cos \left(A{A}^{\prime },(A^{\prime }BC)\right)=\frac{|\vec{n}\cdot \overrightarrow{A{A}^{\prime }}|}{|\vec{n}||\overrightarrow{A{A}^{\prime }}|}=\frac{4}{\sqrt{2}\cdot 4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. → Đúng.

b) $G$ là trọng tâm tam giác $C{A}^{\prime }{B}^{\prime }$: $G=\left(\frac{4}{3};1;\frac{8}{3}\right)$, $\overrightarrow{AG}=\left(-\frac{8}{3};1;\frac{8}{3}\right)$. Với $\overrightarrow{AB}=(-4;3;0)$, $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(-4;0;4)$: $V_{G.AB{C}^{\prime }}=\frac{1}{6}\left|\det (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A{C}^{\prime }},\overrightarrow{AG})\right|=\frac{16}{6}=\frac{8}{3}$. → Đúng.

c) Trên mặt phẳng chứa tam giác $ABC$ (phủ $C(0;0),B(3;0),A(0;4)$, $I$ trung điểm $AB$ nên $I(1,5;2)$) và hình chữ nhật $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ mở ra ($C^{\prime }(0;-4),B^{\prime }(3;-4)$). Phản chiếu $C$ qua đường $C^{\prime }{B}^{\prime }$ ($y=-4$): $C^{\prime \prime }(0;-8)$. Khi đó $EI+EF+FC=IE+E{C}^{\prime \prime }$ (với $E\in BC$, tức $y=0$). Đường thẳng từ $I(1,5;2)$ đến $C^{\prime \prime }(0;-8)$ cắt $y=0$ tại $x=1,2\in [0;3]$ (nên $E$ hợp lệ) và cắt $y=-4$ tại $x=0,6\in [0;3]$ (nên $F$ hợp lệ). Giá trị nhỏ nhất $=I{C}^{\prime \prime }=\sqrt{1,5^2+10^2}=\frac{\sqrt{409}}{2}\ne \frac{\sqrt{419}}{2}$. → Sai.

d) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, suy ra $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
VTPT của $(A^{\prime }BC)$ là $(1;0;-1)$, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(0;0;4)$, nên $\cos =\frac{4}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$V_{G.AB{C}^{\prime }}=\frac{1}{6}|\det (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A{C}^{\prime }},\overrightarrow{AG})|=\frac{16}{6}=\frac{8}{3}$ với $G\left(\frac{4}{3};1;\frac{8}{3}\right)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khai triển và phản chiếu $C$ qua $C^{\prime }{B}^{\prime }$ được $C^{\prime \prime }(0;-8)$; đường gấp khúc ngắn nhất là đoạn $I{C}^{\prime \prime }=\sqrt{1,5^2+10^2}=\frac{\sqrt{409}}{2}$, các giao điểm đều nằm trên đoạn tương ứng, nên giá trị nhỏ nhất là $\frac{\sqrt{409}}{2}$ chứ không phải $\frac{\sqrt{419}}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$.