Cho hàm số $f(x)=2023x^3+2024x$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để bất phương trình $f\left(|x^2+mx+3-m|\right)+f\left(-2x^2-x-3\right)<0$ nghiệm đúng với $\forall x\in (1;+\infty )$?

Hàm số $f(x)=2023x^3+2024x$ là hàm số lẻ và có $f^{\prime }(x)=6069x^2+2024>0,\forall x\in \mathbb{R}$ nên đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó bất phương trình tương đương với:
$f\left(|x^2+mx+3-m|\right)<f\left(2x^2+x+3\right)\iff |x^2+mx+3-m|<2x^2+x+3$
$\iff -2x^2-x-3<x^2+mx+3-m<2x^2+x+3,\forall x>1$
$\iff \{\begin{array}{l}m(x-1)<x^2+x\\ m(x-1)>-3x^2-x-6\end{array},\forall x>1\iff \{\begin{array}{l}m<g(x)=\frac{x^2+x}{x-1}\\ m>h(x)=\frac{-3x^2-x-6}{x-1}\end{array},\forall x>1$.
Khảo sát trên $(1;+\infty )$, ta có ${\min }_{(1;+\infty )}g(x)=g\left(1+\sqrt{2}\right)=3+2\sqrt{2}\approx 5,828$ và ${\max }_{(1;+\infty )}h(x)=h\left(\frac{3+\sqrt{30}}{3}\right)=-7-2\sqrt{30}\approx -17,954$.
Suy ra $-7-2\sqrt{30}\le m\le 3+2\sqrt{2}$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-17;-16;\dots ;4;5\}$, có tất cả $5-(-17)+1=23$ giá trị nguyên của $m$.