Tính tổng các giá trị nguyên của tham số $m$ trên $[-20;20]$ để hàm số $y=\frac{\sin x+m}{\sin x-1}$ nghịch biến trên khoảng $\left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$.

Đặt $t=\sin x$. Với $x\in \left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$, hàm số $t=\sin x$ nghịch biến và có tập giá trị là $t\in (0;1)$.
Hàm số trở thành $y=g(t)=\frac{t+m}{t-1}$ với $t\in (0;1)$.
Ta có $y_x^{\prime }=g^{\prime }(t)\cdot t_x^{\prime }=\frac{-1-m}{(t-1{)}^2}\cdot \cos x$.
Vì $x\in \left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$ nên $\cos x<0$.
Do đó hàm số ban đầu nghịch biến trên $\left(\frac{\pi }{2};\pi \right)\iff y_x^{\prime }\le 0,\forall x\in \left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$ (dấu '=' xảy ra tại hữu hạn điểm)
$\iff g^{\prime }(t)>0,\forall t\in (0;1)\iff \frac{-1-m}{(t-1{)}^2}>0\iff -1-m>0\iff m<-1$.
Kết hợp điều kiện $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in [-20;20]$, ta được:
$m\in \{-20,-19,-18,\dots ,-3,-2\}$.
Tổng các giá trị nguyên của $m$ là:
$S=(-20)+(-19)+\cdots +(-2)=-\frac{(20+2)\cdot 19}{2}=-209$.
Chọn C.