Cho hàm số $f(x)=\left|-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}(2m+3)x^2-(m^2+3m)x+\frac{2}{3}\right|$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc $[-9;9]$ để hàm số $f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(1;2)$?

Đặt $g(x)=-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}(2m+3)x^2-(m^2+3m)x+\frac{2}{3}$. Ta có $g^{\prime }(x)=-x^2+(2m+3)x-(m^2+3m)=(m-x)(x-m-3)$.
Để $f(x)=|g(x)|$ nghịch biến trên $(1;2)$, ta có 2 trường hợp:
- TH1: $g(x)\ge 0$ và $g^{\prime }(x)\le 0,\forall x\in (1;2)$.
Vì $g(x)$ nghịch biến nên $g(x)\ge 0,\forall x\in (1;2)\iff g(2)\ge 0\iff -2m^2-2m+4\ge 0\iff -2\le m\le 1$.
$g^{\prime }(x)\le 0,\forall x\in (1;2)\iff (1;2)\subset (-\infty ;m]\cup [m+3;+\infty )\iff m\ge 2$ hoặc $m+3\le 1\iff m\le -2$.
Kết hợp: $m=-2$.
- TH2: $g(x)\le 0$ và $g^{\prime }(x)\ge 0,\forall x\in (1;2)$.
$g(2)\le 0\iff m\le -2$ hoặc $m\ge 1$.
$g^{\prime }(x)\ge 0,\forall x\in (1;2)\iff (1;2)\subset [m;m+3]\iff m\le 1$ và $m+3\ge 2\iff -1\le m\le 1$.
Kết hợp: $m=1$.
Vậy có 2 giá trị nguyên $m\in \{-2;1\}$. Chọn A.