Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-1}{1}$ và mặt phẳng $(P):x+y-z-3=0$. Gọi $(Q)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $d$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$. Khoảng cách từ điểm $M(3;1;-2)$ đến $(Q)$ bằng

Đường thẳng $d$ đi qua $A(2;-1;1)$ và có vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_d=(1;-1;1)$.
Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_P=(1;1;-1)$.
Vì $(Q)$ chứa $d$ và vuông góc với $(P)$ nên vectơ pháp tuyến của $(Q)$ cùng phương với tích có hướng $[{\vec{u}}_d,{\vec{n}}_P]$:
$[{\vec{u}}_d,{\vec{n}}_P]=((-1)(-1)-1(1);1(1)-1(-1);1(1)-(-1)(1))=(0;2;2)=2(0;1;1)$, chọn ${\vec{n}}_Q=(0;1;1)$.
Phương trình mặt phẳng $(Q)$ đi qua $A(2;-1;1)$:
$0(x-2)+1(y+1)+1(z-1)=0\iff y+z=0$.
Khoảng cách từ $M(3;1;-2)$ đến $(Q)$ là:
$d(M,(Q))=\frac{|1+(-2)|}{\sqrt{0^2+1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Chọn C.