Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, gọi $F(x),G(x)$ là hai nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F(8)+G(8)=15$ và $F(2)+G(2)=3$. Khi đó ${\int }_1^{3}f(3x-1)\mathrm{d}x$ bằng

Cho hàm số f  x  liên tục trên  thỏa f  x   3 f  2 x  . Gọi F  x  là nguyên hàm của f  x 
2
trên  thỏa mãn F  4   3 và F  2   4 F  8   0 . Khi đó  f  3 x  2  dx bằng
0

Giả sử $f(x)$ là hàm số liên tục trên $[0;+\infty )$ và diện tích phần hình phẳng được kẻ sọc ở hình bên bằng $3$. Tích phân ${\int }_0^{1}f(2x)\mathrm{d}x$ bằng

Cho ${\int }_1^{2}f(x)dx=2$, khi đó $I={\int }_1^4\frac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}dx$ bằng

Biết ${\int }_{-a}^a\sqrt{1-\frac{x^2}{4a^2}}\text{d}x=2025$ với $a$ là số thực dương. Tìm $a$ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[1;4]$, đồng biến trên đoạn $[1;4]$ và thỏa mãn đẳng thức $x+2x\cdot f(x)=[f^{\prime }(x){]}^2,\forall x\in [1;4]$. Biết rằng $f(1)=\frac{3}{2}$, tính $I={\int }_1^{4}f(x)dx$.

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Tập hợp các số thực $m$ thỏa mãn ${\int }_0^{m}f(x)dx={\int }_0^{m}f(m-x)dx$ là