Giả sử $f(x)$ là hàm số liên tục trên $[0;+\infty )$ và diện tích phần hình phẳng được kẻ sọc ở hình bên bằng $3$. Tích phân ${\int }_0^{1}f(2x)\mathrm{d}x$ bằng

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=2x^2-3x$, $y=x^2-x$ và các đường thẳng $x=0,x=2$ có diện tích bằng

Cho ba Parabol $(P_1):y=x^2$, $(P_2):y=2x^2$, $(P_3):y=k{x}^2$ với $k>2$. Gọi $P$ là điểm bất kỳ thuộc parabol $(P_2)$ và $S_1,S_2$ là diện tích các miền phẳng $(H_1),(H_2)$ (các miền được gạch chéo trong hình vẽ).

Nếu $S_1=S_2$ thì giá trị của $k=\frac{a}{b}$ với $a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $a+b$.

Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=3x^2,y=-2,x=0$ và $x=1$ được tính bởi công thức nào sau đây?

Cho ${\int }_1^3\frac{x+3}{x^2+3x+2}dx=a\ln 2+b\ln 3+c\ln 5$ với $a,b,c$ là các số nguyên. Giá trị của $a+b+c$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và ${\int }_0^2(f(x)+3x^2)dx=10$. Tính ${\int }_0^{2}f(x)dx$.

Cho hàm số $f(x)$ liên tục và có đạo hàm trên $\left[-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right]$ thỏa mãn ${\int }_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}[f^2(x)-2f(x)(3-x)]dx=-\frac{109}{12}$. Tính ${\int }_0^{\frac{1}{2}}\frac{f(x)}{x^2-1}dx$.