Cho hàm số $f(x)$ liên tục và có đạo hàm trên $\left[-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right]$ thỏa mãn ${\int }_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}[f^2(x)-2f(x)(3-x)]dx=-\frac{109}{12}$. Tính ${\int }_0^{\frac{1}{2}}\frac{f(x)}{x^2-1}dx$.

Biết ${\int }_{-a}^a\sqrt{1-\frac{x^2}{4a^2}}\text{d}x=2025$ với $a$ là số thực dương. Tìm $a$ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục và nhận giá trị âm trên đoạn $[a;b]$. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ được tính theo công thức:

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[0;2]$, biết ${\int }_0^{2}f(x)dx=5$, ${\int }_0^{1}g(x)dx=1$ và ${\int }_1^{2}g(x)dx=-4$. Tính $I={\int }_0^2[f(x)-3g(x)+1]dx$.

Tích phân ${\int }_1^e\left(\frac{1}{x}+2\right)dx$ bằng:

Cho hàm số $f(x)$ liên tục và có đạo hàm trên $[0;1]$ thoả mãn ${\int }_0^1(x{f}^{\prime }(x)+2)dx=f(1)$. Tính $I={\int }_0^{1}f(x)dx$.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Giá trị của biểu thức ${\int }_0^4{f}^{\prime }(x-2)dx+{\int }_0^2{f}^{\prime }(x+2)dx$ bằng bao nhiêu?