Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $(x;y)$ thỏa mãn điều kiện $y\le 2023$ và $3(9^x+2x)\le y+{\log }_3(y+1{)}^3-2$?

Với $x,y$ là các số nguyên dương, ta có:
$3(9^x+2x)\le y+{\log }_3(y+1{)}^3-2\iff 3^{2x+1}+3(2x+1)-3\le (y+1)+3{\log }_3(y+1)-3$
$\iff 3^{2x+1}+3(2x+1)\le 3^{{\log }_3(y+1)}+3{\log }_3(y+1)$ (*).
Xét hàm số $h(t)=3^t+3t$ với $t>0$, có $h^{\prime }(t)=3^t\ln 3+3>0$ nên $h(t)$ đồng biến trên $(0;+\infty )$.
Từ (*) suy ra $2x+1\le {\log }_3(y+1)\iff y+1\ge 3^{2x+1}\iff y\ge 3^{2x+1}-1$.
Theo đề bài $y\le 2023$, do đó $3^{2x+1}-1\le 2023\iff 3^{2x+1}\le 2024\iff 2x+1\le {\log }_{3}2024\approx 6.93\Rightarrow x\le 2.96$.
Vì $x$ nguyên dương nên $x\in \{1;2\}$:
- Với $x=1$: $y\ge 3^3-1=26$. Vì $26\le y\le 2023$ nên có $2023-26+1=1998$ giá trị của $y$.
- Với $x=2$: $y\ge 3^5-1=242$. Vì $242\le y\le 2023$ nên có $2023-242+1=1782$ giá trị của $y$.
Tổng số cặp nguyên dương $(x;y)$ thỏa mãn là $1998+1782=3780$. Chọn D.