Cho khối trụ có chiều cao bằng $4\sqrt{3}$ và diện tích xung quanh bằng $32\pi \sqrt{3}$. Gọi $A$ và $B$ là hai điểm lần lượt thuộc hai đường tròn đáy của khối trụ sao cho góc giữa $AB$ và trục của hình trụ bằng $30^{\circ }$, khoảng cách giữa $AB$ và trục của hình trụ bằng

Gọi chiều cao khối trụ là $h=O{O}^{\prime }=4\sqrt{3}$.
Diện tích xung quanh: $S_{xq}=2\pi Rh=32\pi \sqrt{3}\iff 2\pi R(4\sqrt{3})=32\pi \sqrt{3}\Rightarrow R=4$.
Gọi $A^{\prime }$ là hình chiếu của $A$ lên đáy chứa $B$. Khi đó $A{A}^{\prime }\parallel O{O}^{\prime }$ và $A{A}^{\prime }=h=4\sqrt{3}$.
Góc giữa $AB$ và trục $O{O}^{\prime }$ bằng góc giữa $AB$ và $A{A}^{\prime }$, tức là $\widehat{A^{\prime }AB}=30^{\circ }$.
Tam giác $A{A}^{\prime }B$ vuông tại $A^{\prime }$, suy ra $A^{\prime }B=A{A}^{\prime }\cdot \tan 30^{\circ }=4\sqrt{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=4$.
Vì $A^{\prime }$ và $B$ thuộc đường tròn đáy bán kính $R=4$, và dây cung $A^{\prime }B=4=R$, nên tam giác $O{A}^{\prime }B$ đều cạnh $4$.
Khoảng cách giữa trục $O{O}^{\prime }$ và $AB$ chính là khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(A{A}^{\prime }B)$, bằng khoảng cách từ $O$ đến dây $A^{\prime }B$ (đường cao tam giác đều cạnh 4):
$d=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$. Chọn A.