Trên tập hợp số phức, xét phương trình $z^2-2(m+2)z+m^2+1=0$ ($m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của $m$ để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt $z_1,z_2$ thỏa mãn $|z_1|+|z_2|=3$?

Ta có ${\Delta }^{\prime }=(m+2{)}^2-(m^2+1)=4m+3$.
- Trường hợp 1: ${\Delta }^{\prime }>0\iff m>-\frac{3}{4}$.
Phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt $z_1,z_2$.
Vì tích $z_1{z}_2=m^2+1>0$ nên $z_1,z_2$ cùng dấu.
Do đó $|z_1|+|z_2|=|z_1+z_2|=|2(m+2)|=3\iff 2|m+2|=3\iff \left[\begin{array}{c}m=-\frac{1}{2}\\ m=-\frac{7}{2}\end{array}\right]$.
Đối chiếu điều kiện $m>-\frac{3}{4}$, ta nhận $m=-\frac{1}{2}$.
- Trường hợp 2: ${\Delta }^{\prime }<0\iff m<-\frac{3}{4}$.
Phương trình có hai nghiệm phức liên hợp $z_1,z_2$ với $|z_1|=|z_2|=\sqrt{m^2+1}$.
Khi đó $|z_1|+|z_2|=3\iff 2\sqrt{m^2+1}=3\iff m^2+1=\frac{9}{4}\iff m^2=\frac{5}{4}\iff m=\pm \frac{\sqrt{5}}{2}$.
Đối chiếu điều kiện $m<-\frac{3}{4}=-0.75$:
$m=-\frac{\sqrt{5}}{2}\approx -1.118<-0.75$ (thỏa mãn).
$m=\frac{\sqrt{5}}{2}\approx 1.118>-0.75$ (loại).
Vậy có đúng 2 giá trị của $m$ thỏa mãn là $m=-\frac{1}{2}$ và $m=-\frac{\sqrt{5}}{2}$. Chọn C.