Cho khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $1$ và thể tích bằng $\frac{2}{3}$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $SCD$. Trên các cạnh $AB,SD$ lần lượt lấy các điểm $E,F$ sao cho $EF$ song song $BG$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $DG$ và $EF$ bằng $\frac{m}{n}$ với $m,n$ nguyên dương và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức $T=2m-n$.

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $a$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$. Khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng $MN$ và $A{C}^{\prime }$ là:

Câu 4. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$, biết $AB=2$, $AD=CD=1$. Hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là điểm $H$ thuộc đoạn thẳng $AD$ sao cho $AH=2HD$, biết $SH=2$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $CD$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1:\{\begin{array}{l}x=-20\\ y=2\\ z=t\end{array},d_2:\{\begin{array}{l}x=m^2\\ y=m+2\\ z=1-t\end{array}(t\in \mathbb{R})$ và điểm $K(8;-1;0)$. Biết rằng tồn tại đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $K$ vuông góc với $2$ đường $d_1,d_2$, đồng thời thỏa mãn $d(d_1;\Delta )=d(d_2;\Delta )=d(Oz;\Delta )$. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị thực của $m$ thỏa mãn

Câu 1. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=2$, $BC=3$ và $C{C}^{\prime }=6$. Gọi $I$ là trung điểm của $A{A}^{\prime }$ và $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $B^{\prime }{D}^{\prime }$ và $IG$ bằng bao nhiêu (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?

Câu 2. Để bắc các cột kèo thuận tiện, người ta thiết lập một hệ trục $Oxyz$ hợp lý, đơn vị trên mỗi trục là một mét. Trong hệ toạ độ đó, từ điểm $M(3;-4;-5)$ người ta nhận thấy có thể bắc được thanh xà thẳng nối các cột nằm trên các đường thẳng $d_1:\frac{x+4}{-5}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-2}{3}$ và $d_2:\frac{x-1}{-1}=\frac{y-2}{3}=\frac{z+5}{-2}$. Khi đó đoạn thanh xà nối hai cột có độ dài bằng bao nhiêu mét? *(Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)*.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $AB=a$, $BC=2a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=a$. Khoảng cách giữa đường thẳng $BD$ và đường thẳng $SC$ bằng: