Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và $AD$, $H$ là giao điểm của $CN$ với $DM$. Biết $SH$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SH=a\sqrt{3}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $DM$ và $SC$.

Xét hai tam giác vuông $\Delta MAD$ và $\Delta NDC$ có $AM=DN=\frac{a}{2}$ và $AD=CD=a$, suy ra $\Delta MAD=\Delta NDC$.
Do đó $\widehat{ADM}=\widehat{DCN}$. Mà $\widehat{ADM}+\widehat{MDC}=90^{\circ }⟹\widehat{DCN}+\widehat{MDC}=90^{\circ }⟹MD\perp NC$ tại $H$.



Ta có $DM\perp NC$ và $DM\perp SH$ (do $SH\perp (ABCD)$), suy ra $DM\perp (SHC)$, do đó $DM\perp SC$.
Trong mặt phẳng $(SHC)$, kẻ $HK\perp SC$ tại $K$. Khi đó $HK\perp DM$ (vì $DM\perp (SHC)$) và $HK\perp SC$.
Suy ra $HK$ là đoạn vuông góc chung của $DM$ và $SC$, do đó $d(DM,SC)=HK$.
Trong tam giác vuông $CDN$ vuông tại $D$, ta có $CD=a,DN=\frac{a}{2}⟹NC=\sqrt{a^2+\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$.
Vì $DH\perp NC$ nên:
$HC=\frac{C{D}^2}{NC}=\frac{a^2}{\frac{a\sqrt{5}}{2}}=\frac{2a}{\sqrt{5}}.$
Tam giác $SHC$ vuông tại $H$ có $HK\perp SC$, suy ra:
$\frac{1}{H{K}^2}=\frac{1}{S{H}^2}+\frac{1}{H{C}^2}=\frac{1}{(a\sqrt{3}{)}^2}+\frac{1}{{\left(\frac{2a}{\sqrt{5}}\right)}^2}=\frac{1}{3a^2}+\frac{5}{4a^2}=\frac{19}{12a^2}$
$⟹HK=\sqrt{\frac{12a^2}{19}}=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{19}}=\frac{2\sqrt{57}a}{19}.$