Gọi $\alpha$ và $\beta$ lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)=|x^3-12x+m|$ trên đoạn $[0;3]$. Gọi $S$ là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số $m\in [-40;40]$ để $2\alpha >\beta$. Số phần tử của tập $S$ là

Xét hàm số $g(x)=x^3-12x+m$ trên đoạn $[0;3]$.
Ta có $g^{\prime }(x)=3x^2-12=0⟺x=2\in [0;3]$ (nghiệm $x=-2$ loại).
Tính giá trị:
$g(0)=m,g(2)=2^3-12(2)+m=m-16,g(3)=3^3-12(3)+m=m-9.$
Do đó trên $[0;3]$ ta có:
${\min }_{[0;3]}g(x)=m-16,{\max }_{[0;3]}g(x)=m.$
Để $2\alpha >\beta$, trước hết ta cần $\alpha ={\min }_{[0;3]}|g(x)|>0$, điều này có nghĩa là đồ thị hàm số $g(x)$ không cắt trục hoành trên đoạn $[0;3]$. Do đó xảy ra 2 trường hợp:
- Trường hợp 1: $g(x)>0$ với mọi $x\in [0;3]⟺m-16>0⟺m>16$.
Khi đó:
$\alpha =m-16,\beta =m.$
Yêu cầu $2\alpha >\beta ⟺2(m-16)>m⟺2m-32>m⟺m>32$.
Kết hợp điều kiện $m>16$ và $m\in [-40;40]$ ta được $32<m\le 40$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{33;34;\dots ;40\}$, có $40-33+1=8$ giá trị.
- Trường hợp 2: $g(x)<0$ với mọi $x\in [0;3]⟺m<0$.
Khi đó:
$\alpha =|m|=-m,\beta =|m-16|=16-m.$
Yêu cầu $2\alpha >\beta ⟺2(-m)>16-m⟺-2m>16-m⟺m<-16$.
Kết hợp điều kiện $m<0$ và $m\in [-40;40]$ ta được $-40\le m<-16$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-40;-39;\dots ;-17\}$, có $-17-(-40)+1=24$ giá trị.
Tổng số giá trị nguyên của $m$ là $8+24=32$ giá trị.