Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có tất cả các cạnh bằng 1. Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm các cạnh $A{A}^{\prime }$ và $B{B}^{\prime }$; đường thẳng $CE$ cắt đường thẳng $C^{\prime }{A}^{\prime }$ tại $E^{\prime }$, đường thẳng $CF$ cắt đường thẳng $C^{\prime }{B}^{\prime }$ tại $F^{\prime }$. Thể tích của khối đa diện $A^{\prime }E{E}^{\prime }{B}^{\prime }F{F}^{\prime }$ bằng

Một chiếc khay đựng đầy nước có dạng hình hộp chữ nhật với kích thước: chiều dài $20\text{ cm}$, chiều rộng $10\text{ cm}$, chiều cao $8\text{ cm}$ (hình a). Để san bớt nước cho đỡ đầy, người ta đổ nước từ chiếc khay thứ nhất đó sang chiếc khay thứ hai có dạng hình chóp cụt tứ giác đều với đáy khay là hình vuông nhỏ có đường chéo dài $n\text{ (cm)}$, miệng khay là hình vuông lớn có đường chéo dài $2n\text{ (cm)}$ (hình b). Sau khi đổ, mực nước ở khay thứ hai cao bằng $\frac{2}{5}$ chiều cao của khay đó và lượng nước trong khay thứ nhất giảm đi $\frac{1}{4}$ so với ban đầu. Thể tích của chiếc khay thứ hai theo đơn vị centimét khối có kết quả chính xác đến hàng đơn vị là $a{\text{ (cm}}^3\text{)}$, Tổng các chữ số của số $a$ bằng bao nhiêu?

Cho khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có thể tích $V$, trên các cạnh $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$ lần lượt lấy các điểm $M,N,P$ sao cho $AM=\frac{1}{2}A{A}^{\prime },BN=\frac{2}{3}B{B}^{\prime },CP=\frac{1}{6}C{C}^{\prime }$. Thể tích khối đa diện $ABCMNP$ bằng

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, $SA\perp (ABC)$ và $SA=2a$. Gọi $G,E$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $SAB$ và $SBC$, $N$ là trung điểm của $BC$. Thể tích khối chóp $A.GEN$ bằng

Cho hình chóp $S.ABC$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $SA,SB,SC$. Tỉ số thể tích $\frac{V_{S.ABC}}{V_{S.MNP}}$ bằng

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, biết thể tích của khối chóp $A^{\prime }.ABC$ bằng $24$. Thể tích của khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng

Cho khối lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh bằng 1. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $C{C}^{\prime }$ và $A^{\prime }{D}^{\prime }$. Mặt phẳng $(BMN)$ chia khối lập phương thành hai phần có thể tích lần lượt là $V_1$ và $V_2$ với $V_1>V_2$. Biết $\frac{V_1}{V_2}=\frac{p}{q}$ với $p,q$ là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau. Khi đó $p-q$ bằng