Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và $f(x)>0,\forall x\in \mathbb{R}$. Biết $f^{\prime }(x)=f(x)e^x$ và $f(1)=e$. Kết quả của $J={\int }_0^2\ln (f(x))dx$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên đoạn $[1;4]$ và $f(1)=2,f(4)=10$. Giá trị của $I={\int }_1^4{f}^{\prime }(x)dx$ là:

Biết $f(x)$ là hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và ${\int }_0^{9}f(x)dx=9$. Khi đó giá trị của ${\int }_1^{4}f(3x-3)dx$ là:

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường $y=|x^2-4x+3|,y=x+3$ (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của $(H)$ bằng:

Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, liên tục trên $[a;b]$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a,x=b$ ($a<b$) cho bởi công thức:

Bạn Hải nhận thiết kế logo hình con mắt (phần được tô đậm) cho một cơ sở y tế: Logo là hình phẳng giới hạn bởi hai parabol $y=f(x)$ và $y=g(x)$ như Hình (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là decimét). Bạn Hải cần tính diện tích của logo để báo giá cho cơ sở y tế đó trước khi kí hợp đồng. Diện tích của logo là bao nhiêu decimét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Câu 20: Cho parabol $(P_1):y=-x^2+6$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt $A,B$ và đường thẳng $d:y=a(0<a<6)$. Xét parabol $(P_2)$ đi qua $A,B$ và có đỉnh thuộc đường thẳng $y=a$. Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P_1)$ và $d$; $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P_2)$ và trục hoành (tham khảo hình vẽ).



Biết $S_1=S_2$, tính $T=a^3-12a^2+108a$.