Cho các số thực $a,b>1$ và các số dương $x,y$ thay đổi thỏa mãn $a^x=b^y=ab$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{16}{x}-y^2$ bằng

Đặt $a^x=b^y=ab=t$. Do $a,b>1$ và $x,y>0$ nên $t>1$.
Khi đó:
$x={\log }_{a}t⟹\frac{1}{x}={\log }_{t}a$
$y={\log }_{b}t⟹\frac{1}{y}={\log }_{t}b$
Cộng hai vế:
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}={\log }_{t}a+{\log }_{t}b={\log }_t(ab)={\log }_{t}t=1⟹\frac{1}{x}=1-\frac{1}{y}.$
Do $x>0$ nên $1-\frac{1}{y}>0⟹y>1$.
Thay vào biểu thức $P$:
$P=16\left(1-\frac{1}{y}\right)-y^2=16-\left(\frac{16}{y}+y^2\right).$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương $\frac{8}{y},\frac{8}{y},y^2$:
$\frac{16}{y}+y^2=\frac{8}{y}+\frac{8}{y}+y^2\ge 3\sqrt[3]{\frac{8}{y}\cdot \frac{8}{y}\cdot y^2}=3\sqrt[3]{64}=3\cdot 4=12.$
Do đó:
$P\le 16-12=4.$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\frac{8}{y}=y^2⟺y^3=8⟺y=2$.
Khi $y=2⟹\frac{1}{x}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}⟹x=2$.
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $P$ bằng 4.