Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $y=|x^3-2x^2+(m+2)x+5|$ trên đoạn $[-1;2]$ không vượt quá 11?

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 46 chọn đáp án D.

Xét hàm số $g(x)=x^3-2x^2+(m+2)x+5$ trên đoạn $[-1;2]$.
Đạo hàm $g^{\prime }(x)=3x^2-4x+m+2$.
Để ${\max }_{[-1;2]}|g(x)|\le 11⟺-11\le g(x)\le 11$ với mọi $x\in [-1;2]$.
Xét tại các đầu mút:
- $g(-1)=-1-2-(m+2)+5=-m\Rightarrow -11\le -m\le 11⟺-11\le m\le 11$.
- $g(2)=8-8+2(m+2)+5=2m+9\Rightarrow -11\le 2m+9\le 11⟺2m\le 2⟺m\le 1$.
Vì $m$ là số nguyên dương ($m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$) và $m\le 1$, nên chỉ có duy nhất giá trị $m=1$.
Thử lại với $m=1$: $g(x)=x^3-2x^2+3x+5$, $g^{\prime }(x)=3x^2-4x+3>0$ (vô nghiệm), hàm số đồng biến trên $[-1;2]$.
Khi đó ${\min }_{[-1;2]}g(x)=g(-1)=-1\ge -11$ và ${\max }_{[-1;2]}g(x)=g(2)=11\le 11$ (thỏa mãn).
Vậy chỉ có duy nhất 1 giá trị nguyên dương của $m$.

Chọn đáp án D.