Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $6a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, $SA=2a$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SG$ và $BC$ bằng

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 44 chọn đáp án D.

Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Vì tam giác $ABC$ đều nên $AM\perp BC$ và $AM=\frac{6a\sqrt{3}}{2}=3a\sqrt{3}$.
Vì $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$ nên $G\in AM$ với $GM=\frac{1}{3}AM=a\sqrt{3}$.
Đường thẳng $SG$ nằm trong mặt phẳng $(SAM)$.
Ta có $BC\perp AM$ và $BC\perp SA$ (do $SA\perp (ABC)$) nên $BC\perp (SAM)$.
Do đó khoảng cách giữa $BC$ và bất kỳ đường thẳng nào trong mặt phẳng $(SAM)$ chính là khoảng cách từ giao điểm $M=BC\cap (SAM)$ đến đường thẳng đó.
Kẻ $MH\perp SG$ tại $H$, khi đó $d(SG;BC)=MH$.
Xét tam giác $SAM$ vuông tại $A$:
$SA=2a,AG=\frac{2}{3}AM=2a\sqrt{3}$.
Áp dụng hệ thức lượng hoặc tọa độ trong $\Delta SAM$, ta tính được đường cao từ $M$ xuống $SG$ là $MH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Chọn đáp án D.