Cho hình chóp cụt tam giác đều $ABC.MNP$ có đáy lớn là tam giác $ABC$ với độ dài cạnh bằng 6, chiều cao của hình chóp cụt bằng 8. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $MNP$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AG$ và $BC$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Gọi $O$ là trọng tâm tam giác đều $ABC$. Vì $ABC.MNP$ là hình chóp cụt tam giác đều nên đoạn nối hai trọng tâm $OG$ vuông góc với cả hai mặt đáy, tức là $OG\perp (ABC)$ và $OG=8$.
Gọi $H$ là trung điểm của cạnh $BC$. Do $\Delta ABC$ đều nên $AH\perp BC$.
Ta có $BC\perp AH$ và $BC\perp OG$ (do $OG\perp (ABC)$) $\Rightarrow BC\perp (AOG)$, suy ra $BC\perp (AGH)$.
Trong mặt phẳng $(AGH)$, kẻ $HE\perp AG$ tại $E$.
Vì $BC\perp (AGH)$ nên $BC\perp HE$, do đó $HE$ là đoạn vuông góc chung của $AG$ và $BC$, hay $d(AG,BC)=HE$.
Trong tam giác đều $ABC$ cạnh bằng 6:
$AH=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$, $AO=\frac{2}{3}AH=2\sqrt{3}$.
Trong tam giác vuông $\Delta AOG$ tại $O$:
$AG=\sqrt{O{A}^2+O{G}^2}=\sqrt{(2\sqrt{3}{)}^2+8^2}=\sqrt{12+64}=\sqrt{76}=2\sqrt{19}$.
Diện tích tam giác $AGH$ tính theo hai cách:
$S_{\Delta AGH}=\frac{1}{2}OG\cdot AH=\frac{1}{2}HE\cdot AG$
$\Rightarrow HE=\frac{OG\cdot AH}{AG}=\frac{8\cdot 3\sqrt{3}}{2\sqrt{19}}=\frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{19}}\approx 4,76996$.
Làm tròn đến hàng phần trăm ta được $HE\approx 4,77$.