Cho hàm số $y=f(x)=\frac{x^2-5x+4}{x-5}$ với $x\ne 5$.

a) Đúng. Ta có $y=\frac{(x-5)x+4}{x-5}=x+\frac{4}{x-5}=x-5+\frac{4}{x-5}+5$.
Đạo hàm: $f^{\prime }(x)=1-\frac{4}{(x-5{)}^2}$ với mọi $x\ne 5$.

b) Đúng. Phương trình hoành độ giao điểm với trục hoành:
$\frac{x^2-5x+4}{x-5}=0\iff x^2-5x+4=0\iff x=1$ hoặc $x=4$ (đều thỏa mãn $x\ne 5$).
Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt $(1;0)$ và $(4;0)$.

c) Đúng. Cho $f^{\prime }(x)=0\iff (x-5{)}^2=4\iff x-5=2\Rightarrow x=7$ hoặc $x-5=-2\Rightarrow x=3$.
Bảng biến thiên cho thấy qua $x=3$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm nên hàm số đạt cực đại tại $x=3$.

d) Sai. Hàm số đạt cực tiểu tại $x=7$, giá trị cực tiểu là $f(7)=\frac{7^2-5\cdot 7+4}{7-5}=\frac{18}{2}=9\ne 3$.