Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn $\log x+\log y\ge \log (x^2+y)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=2x+y$.

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 50 chọn đáp án C.

Ta có $\log x+\log y=\log (xy)\ge \log (x^2+y)⟺xy\ge x^2+y⟺y(x-1)\ge x^2$.
Vì $x,y>0$ nên $x-1>0⟺x>1$, suy ra $y\ge \frac{x^2}{x-1}$.
Khi đó biểu thức $P=2x+y$ thỏa mãn:
$P\ge 2x+\frac{x^2}{x-1}=2x+x+1+\frac{1}{x-1}=3x+1+\frac{1}{x-1}=3(x-1)+\frac{1}{x-1}+4$.
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương $3(x-1)$ và $\frac{1}{x-1}$:
$P\ge 2\sqrt{3(x-1)\cdot \frac{1}{x-1}}+4=2\sqrt{3}+4$.
Dấu đẳng thức xảy ra khi $3(x-1)=\frac{1}{x-1}⟺(x-1{)}^2=\frac{1}{3}⟺x=1+\frac{1}{\sqrt{3}}$ và $y=\frac{x^2}{x-1}$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $2\sqrt{3}+4$.

Chọn đáp án C.