Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)=\left|\frac{x^2+2mx+4m}{x+2}\right|$ trên đoạn $[-1;1]$ bằng $3$. Tích các phần tử của $S$ bằng

Chọn B.
Xét hàm số $g(x)=\frac{x^2+2mx+4m}{x+2}$ trên đoạn $[-1;1]$.
Ta có: $g^{\prime }(x)=\frac{(2x+2m)(x+2)-(x^2+2mx+4m)}{(x+2{)}^2}=\frac{x(x+4)}{(x+2{)}^2}$.
Phương trình $g^{\prime }(x)=0\iff x=0$ hoặc $x=-4$ (loại vì không thuộc $[-1;1]$).
Ta tính các giá trị tại các điểm biên và điểm dừng:
$g(-1)=2m+1$;
$g(0)=2m$;
$g(1)=\frac{6m+1}{3}=2m+\frac{1}{3}$.
Do $g^{\prime }(x)<0$ trên $[-1;0)$ và $g^{\prime }(x)>0$ trên $(0;1]$ nên:
${\min }_{[-1;1]}g(x)=g(0)=2m$, và ${\max }_{[-1;1]}g(x)=\max \{g(-1),g(1)\}=2m+1$ (do $2m+1>2m+\frac{1}{3}$).
Khi đó ${\max }_{[-1;1]}|g(x)|=\max \{|2m+1|,|2m|\}$.
Để ${\max }_{[-1;1]}|g(x)|=3$, ta có hai trường hợp:
- Trường hợp 1: $|2m+1|=3$ và $|2m+1|\ge |2m|$.
$|2m+1|=3\iff 2m+1=3\Rightarrow m=1$ hoặc $2m+1=-3\Rightarrow m=-2$.
+ Với $m=1$: $|2m+1|=3,|2m|=2$ (thỏa mãn).
+ Với $m=-2$: $|2m+1|=3,|2m|=4>3$ (loại).
- Trường hợp 2: $|2m|=3$ và $|2m|\ge |2m+1|$.
$|2m|=3\iff m=\frac{3}{2}$ hoặc $m=-\frac{3}{2}$.
+ Với $m=\frac{3}{2}$: $|2m|=3,|2m+1|=4>3$ (loại).
+ Với $m=-\frac{3}{2}$: $|2m|=3,|2m+1|=|-2|=2\le 3$ (thỏa mãn).
Vậy $S=\left\{1;-\frac{3}{2}\right\}$.
Tích các phần tử của $S$ là $1\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)=-\frac{3}{2}$.