Tính bán kính đường tròn giao tuyến của mặt cầu $S(O;r)$ và mặt phẳng $(\alpha )$ biết rằng khoảng cách từ tâm $O$ đến $(\alpha )$ bằng $\frac{r}{3}$.

Trong không gian $Oxyz$, gọi $(C)$ là đường tròn giao của mặt cầu $(S):x^2+(y-1{)}^2+(z-1{)}^2=4$ và mặt phẳng $(P):x+y+z+1=0$. Mặt cầu đi qua điểm $A(-1;2;1)$ và chứa đường tròn $(C)$ có bán kính là

Trong không gian $Oxyz$. Tính bán kính $r$ của mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;1;-1)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(\alpha ):2x+2y-z+3=0$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $(S):x^2+y^2+z^2-4x-2y+10z-14=0$. Mặt phẳng $(P):-x+4z+5=0$ cắt mặt cầu $(S)$ theo theo giao tuyến là đường tròn $(C)$. Tọa độ tâm $H$ của $(C)$ là

Trong không gian Oxyz , gọi ( P ) là mặt phẳng đi qua điểm A (1; 4; - 3) và chứa trục Ox. Mặt
cầu ( S ) có tâm I (1; 2;1) và tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) có phương trình là

Câu 4. Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là $1$ mét), coi một phần mặt biển được khảo sát là mặt phẳng $(Oxy)$, trục $Oz$ hướng lên trên vuông góc với mặt biển, đỉnh của một ngọn hải đăng ở vị trí $I(21;35;50)$ cao $50$ mét so với mực nước biển (minh họa bởi hình bên) và ngọn hải đăng này được thiết kế với vùng phủ sáng có bán kính là $4\text{ km}$. Một người đi biển ở vị trí $D(5121;658;0)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2=25$, đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=2-t\\ z=1+t\end{array}$ và mặt phẳng $(P):2x-y+2z-10=0$. Từ điểm $M\in d$ kẻ được hai tiếp tuyến phân biệt đến $(S)$ và hai tiếp tuyến song song với $(P)$. Tìm số điểm $M$ có hoành độ nguyên.