Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của $m$ để khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến đường thẳng đi qua $2$ điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=x^3-3x+m$ nhỏ hơn hoặc bằng $\sqrt{5}$.

Trong khoảng thời gian từ ngày 01/01/2024 đến hết ngày 30/09/2024, nhóm nghiên cứu đã quan sát sự phát triển của một quần thể sinh vật $X$. Kết quả nghiên cứu chỉ ra rằng, tại ngày thứ $t$ của năm 2024 (tính từ ngày 01/01/2024) số cá thể sinh vật $X$ trong quần thể được ước lượng bởi hàm số $f(t)=-\frac{1}{300}{t}^3+b{t}^2+ct+12000$ (con), $0\le t\le 365$ và ngày 26/09/2024 là ngày có số lượng cá thể sinh vật $X$ nhiều nhất với $55740$ con. Ngày 26/10/2024 số lượng cá thể sinh vật $X$ được ước lượng khoảng bao nhiêu nghìn con? *(kết quả làm tròn tới hàng phần chục)*

Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên của $m$ để hàm số $y=|x^5-5x^3+5x^2+3m-7|$ có $5$ điểm cực trị. Tính tổng các phần tử của $S$.

Cho phương trình $(m-5)\sqrt{(x^2+2{)}^3}+(x+4)(11x^2-8x+8)=0$ $(1)$. Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị thực của $m$ để phương trình $(1)$ có bốn nghiệm thực phân biệt là $S=(a;b)$. Tính $|a|+|b|$.

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=m{x}^4-2(m-2)x^2+m^2-2023$ có đúng một điểm cực trị.

Tìm giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-m{x}^2+(m^2-4)x+3$ đạt cực đại tại $x=3$.

Một giáo viên theo dõi sự tiến bộ của học sinh qua thang đo điểm, được mô hình hóa bằng hàm số $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ với $a,b,c$ là các hệ số. Trong đó, $x$ ($0\le x\le 9,x\in \mathbb{N}$) là số tháng kể từ đầu năm học và $f(x)$ là điểm trong tháng thứ $x$. Qua theo dõi, giáo viên ghi nhận tháng đầu tiên học sinh đạt $19$ điểm, sau đó giảm trong tháng thứ hai và đến tháng thứ ba học sinh đạt mức điểm thấp nhất trong năm học, là $3$ điểm. Kể từ tháng thứ ba trở đi, điểm của học sinh tăng lên. Tính điểm của học sinh đó ở tháng thứ sáu.