Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B; AB = a. Cạnh $A{A}^{\prime }=a\sqrt{2}$. 1) Chứng minh $BC\perp$ (ABB'A'). 2) Tính số đo góc tạo bởi đường thẳng A'B và mp(ABC). 3) Tính khoảng cách từ C đến mp(ABB'A').

(AI giải đề cho tôi)
Bài 12: Lăng trụ đứng ABC.A'B'C', đáy ABC vuông cân tại B, AB = a nên BC = a, AA' = a√2.

1) Vì ABC vuông tại B nên BC ⊥ AB. Vì lăng trụ đứng nên cạnh bên BB' ⊥ mp(ABC), suy ra BB' ⊥ BC. Vì BC ⊥ AB và BC ⊥ BB' với AB, BB' là hai đường thẳng cắt nhau trong mp(ABB'A'), nên BC ⊥ (ABB'A').

2) Vì lăng trụ đứng nên AA' ⊥ mp(ABC). Gọi φ là góc giữa A'B và mp(ABC), khi đó φ = góc giữa A'B và BA (hình chiếu của A'B trên mp(ABC) là BA), tức φ = góc A'BA. Trong tam giác A'AB vuông tại A: tan φ = A'A / AB = a√2 / a = √2, suy ra φ = arctan√2 ≈ 54°44' (≈ 54,74°).

3) Vì BC ⊥ (ABB'A') (chứng minh ở câu 1) nên d(C, (ABB'A')) = BC. Tam giác ABC vuông cân tại B với AB = a nên BC = a. Vậy khoảng cách từ C đến mp(ABB'A') bằng a.