Câu 109Học KỳChuyên đề: Chứng minh đường vuông góc mặt • Lớp 11Chứng minh hai mặt vuông gócTính góc đường và mặt không tọa độVận dụng#secondary:M11.G08.PERP_PLANES.L3.PROOF#secondary:M11.G10.ANGLE_LINE_PLANE.L3.COMPUTE
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD; có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3a. 1) Chứng minh: a) (SAC); b) (SBD) (SAC). 2) Tính độ dài đường cao của hình chóp S.ABCD. 3) Tính số đo góc tạo bởi đường thẳng SB và mp(ABCD). 4) Tính số đo góc nhị diện [S, BC, O].
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD; có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3a. 1) Chứng minh: a) (SAC); b) (SBD) (SAC). 2) Tính độ dài đường cao của hình chóp S.ABCD. 3) Tính số đo góc tạo bởi đường thẳng SB và mp(ABCD). 4) Tính số đo góc nhị diện [S, BC, O].
Đáp án chính thức: Tự luận
Hướng dẫn giải chi tiết
(AI giải đề cho tôi)
Bài 11: Hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy a, cạnh bên 3a. Gọi O là tâm đáy (AC ∩ BD), O là hình chiếu của S lên (ABCD).
1a) ABCD là hình vuông nên BD ⊥ AC. SO ⊥ (ABCD) nên SO ⊥ BD. Vì BD ⊥ (AC ∩ SO) ⊂ (SAC) nên BD ⊥ (SAC).
1b) BD ⊥ (SAC) và BD ⊂ (SBD) nên (SBD) ⊥ (SAC).
2) AC = a√2 nên OA = a√2/2. Tam giác SOA vuông tại O: SO = √(SA² − OA²) = √(9a² − a²/2) = a√34/2. Vậy đường cao của hình chóp là SO = a√34/2.
3) Góc giữa SB và (ABCD) là góc SBO. sin(SBO) = SO/SB = (a√34/2)/(3a) = √34/6, nên góc bằng arcsin(√34/6) ≈ 60°30′.
4) Gọi M là trung điểm BC, thì OM ⊥ BC (OM ∥ AB, OM = a/2). Theo (1) BD ⊥ (SAC) nên OM ⊥ (SAC), suy ra OM ⊥ SM. Góc nhị diện [S, BC, O] là góc SMO. tan(SMO) = SO/OM = (a√34/2)/(a/2) = √34, nên góc bằng arctan(√34) ≈ 79°42′.
Bài 11: Hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy a, cạnh bên 3a. Gọi O là tâm đáy (AC ∩ BD), O là hình chiếu của S lên (ABCD).
1a) ABCD là hình vuông nên BD ⊥ AC. SO ⊥ (ABCD) nên SO ⊥ BD. Vì BD ⊥ (AC ∩ SO) ⊂ (SAC) nên BD ⊥ (SAC).
1b) BD ⊥ (SAC) và BD ⊂ (SBD) nên (SBD) ⊥ (SAC).
2) AC = a√2 nên OA = a√2/2. Tam giác SOA vuông tại O: SO = √(SA² − OA²) = √(9a² − a²/2) = a√34/2. Vậy đường cao của hình chóp là SO = a√34/2.
3) Góc giữa SB và (ABCD) là góc SBO. sin(SBO) = SO/SB = (a√34/2)/(3a) = √34/6, nên góc bằng arcsin(√34/6) ≈ 60°30′.
4) Gọi M là trung điểm BC, thì OM ⊥ BC (OM ∥ AB, OM = a/2). Theo (1) BD ⊥ (SAC) nên OM ⊥ (SAC), suy ra OM ⊥ SM. Góc nhị diện [S, BC, O] là góc SMO. tan(SMO) = SO/OM = (a√34/2)/(a/2) = √34, nên góc bằng arctan(√34) ≈ 79°42′.