Câu 107Học KỳChuyên đề: Chứng minh đường vuông góc mặt • Lớp 11Chứng minh hai mặt vuông gócTính góc đường và mặt không tọa độVận dụng#secondary:M11.G08.PERP_PLANES.L3.PROOF#secondary:M11.G10.ANGLE_LINE_PLANE.L3.COMPUTE
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh B, BA = BC = 3a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a. 1) CMR: a) mp(SAB); b) mp(SBC) mp(SAB). 2) Tính số đo góc tạo bởi: a) đường thẳng SC và mp(ABC); b) đường thẳng SC và mp(SAB). 3) Tính số đo góc tạo bởi mp(SBC) và mp(ABC). 4) Tính số đo góc nhị diện [B, SA, C]. 5) Tính khoảng cách: a) từ C đến mp (SAB); b) từ A đến mp (SBC)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh B, BA = BC = 3a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a. 1) CMR: a) mp(SAB); b) mp(SBC) mp(SAB). 2) Tính số đo góc tạo bởi: a) đường thẳng SC và mp(ABC); b) đường thẳng SC và mp(SAB). 3) Tính số đo góc tạo bởi mp(SBC) và mp(ABC). 4) Tính số đo góc nhị diện [B, SA, C]. 5) Tính khoảng cách: a) từ C đến mp (SAB); b) từ A đến mp (SBC)
Đáp án chính thức: Tự luận
Hướng dẫn giải chi tiết
(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: B(0;0;0), A(3a;0;0), C(0;3a;0), S(3a;0;a) (vì SA⊥(ABC), SA=a).
1a) Tam giác ABC vuông cân tại B nên BC⊥BA. Vì SA⊥(ABC) nên SA⊥BC. BC⊥BA và BC⊥SA, BA∩SA=A nên BC⊥(SAB).
1b) BC nằm trong (SBC) và BC⊥(SAB) nên (SBC)⊥(SAB) (hai mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với nhau thì vuông góc với nhau).
2a) Góc giữa SC và (ABC) là góc giữa SC và hình chiếu AC trên (ABC), tức góc SCA. Tam giác SAC vuông tại A: tan(SCA) = SA/AC = a/(3a√2) = √2/6, nên góc = arctan(√2/6) ≈ 13°15′.
2b) Vì BC⊥(SAB) nên hình chiếu của C trên (SAB) là A, hình chiếu của SC là SA. Góc cần tìm là góc CSA: tan(CSA) = CA/SA = 3a√2/a = 3√2, nên góc = arctan(3√2) ≈ 76°44′.
3) Góc giữa (SBC) và (ABC): giao tuyến là BC, mà BC⊥(SAB) nên góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa BA và BS, tức góc SBA. Tam giác SAB vuông tại A: tan(SBA) = SA/BA = a/3a = 1/3, nên góc = arctan(1/3) ≈ 18°26′.
4) Góc nhị diện [B, SA, C]: cạnh SA⊥(ABC) nên SA⊥BA và SA⊥BC; BA và BC cùng vuông góc với SA tại A. Góc nhị diện bằng góc BAC = 90°.
5a) Vì BC⊥(SAB) nên d(C,(SAB)) = BC = 3a.
5b) Thể tích V = (1/3)·S(ABC)·SA = (1/3)·(9a²/2)·a = 3a³/2. Trong (SBC): BC = 3a, SB = √(AB²+SA²) = a√10, BC⊥SB nên S(SBC) = (1/2)·3a·a√10 = (3√10 a²)/2. Vậy d(A,(SBC)) = 3V/S(SBC) = (9a³/2)/((3√10 a²)/2) = 3a/√10 = (3√10 a)/10.
Chọn hệ trục: B(0;0;0), A(3a;0;0), C(0;3a;0), S(3a;0;a) (vì SA⊥(ABC), SA=a).
1a) Tam giác ABC vuông cân tại B nên BC⊥BA. Vì SA⊥(ABC) nên SA⊥BC. BC⊥BA và BC⊥SA, BA∩SA=A nên BC⊥(SAB).
1b) BC nằm trong (SBC) và BC⊥(SAB) nên (SBC)⊥(SAB) (hai mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với nhau thì vuông góc với nhau).
2a) Góc giữa SC và (ABC) là góc giữa SC và hình chiếu AC trên (ABC), tức góc SCA. Tam giác SAC vuông tại A: tan(SCA) = SA/AC = a/(3a√2) = √2/6, nên góc = arctan(√2/6) ≈ 13°15′.
2b) Vì BC⊥(SAB) nên hình chiếu của C trên (SAB) là A, hình chiếu của SC là SA. Góc cần tìm là góc CSA: tan(CSA) = CA/SA = 3a√2/a = 3√2, nên góc = arctan(3√2) ≈ 76°44′.
3) Góc giữa (SBC) và (ABC): giao tuyến là BC, mà BC⊥(SAB) nên góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa BA và BS, tức góc SBA. Tam giác SAB vuông tại A: tan(SBA) = SA/BA = a/3a = 1/3, nên góc = arctan(1/3) ≈ 18°26′.
4) Góc nhị diện [B, SA, C]: cạnh SA⊥(ABC) nên SA⊥BA và SA⊥BC; BA và BC cùng vuông góc với SA tại A. Góc nhị diện bằng góc BAC = 90°.
5a) Vì BC⊥(SAB) nên d(C,(SAB)) = BC = 3a.
5b) Thể tích V = (1/3)·S(ABC)·SA = (1/3)·(9a²/2)·a = 3a³/2. Trong (SBC): BC = 3a, SB = √(AB²+SA²) = a√10, BC⊥SB nên S(SBC) = (1/2)·3a·a√10 = (3√10 a²)/2. Vậy d(A,(SBC)) = 3V/S(SBC) = (9a³/2)/((3√10 a²)/2) = 3a/√10 = (3√10 a)/10.